离散复习资料之一（Warshall算法）

我们先对R（n）进行解释一下，不然你们看不太懂。

就是R（n）表示，通过从 1...n 个点绕到到达所求点，注意原来的位置的点，发生改变的就是刚才的含义去解释。

给一个例子解释一下。

其中的R（i）...R(N)；(0<=N<=4)

初始的R（0）就是可达矩阵。

R（1）表示在R(0)的基础上面变化

R（2）表示在R(1)的基础上面变化

R（3）表示在R(2)的基础上面变化

R（4）表示在R(3)的基础上面变化

关键：

R(0)表示直接相连的关系，可以到达就记为1，否则就记为0.

R(1)表示从该点通过1可以到达目标点的记为1，否则就记为0.（多出来的点的关系）

R（2）表示从该点通过1,2可以到达目标点到达的记为1.否则就记为0.（与R（1）相比，多出来的点的关系。）

R（3）与R（4）表示的意思同上。

Warshall算法思想：

R（0）就只是有向图的邻接矩阵。

R（1）包含可以用第一个顶点作为中间点的路径信息。

R（n）说明可以用所有的顶点作为中间点寻找有向路径，所以R（n）就是我们要求的传递闭包,即可达矩阵。

这个算法的中心是我们可以通过R（k－1）来计算R（k）的所有元素。

算法的步骤如下：

R(k) <- R（k-1）

for(k<-1;k<=n;k++)

for(i<-1;i<=n;i++)

for(j<-1;j<=n;j++)

R(k)[i,j] = R(k-1)[i,j] or R(k-1)[i,k] and R(k-1)[k,j]

return R(n)

通过上面的算法步骤，我们也可以知道，推出R（n），只要知道R（n-1）的关系矩阵从而推出R（n）。

每一点的计算关系都会遵循一个计算公式。

“R(k)[i,j] = R(k-1)[i,j] or R(k-1)[i,k] and R(k-1)[k,j]”

从而程序代码也可以按照上面的计算关系进行计算，改变。

看一个代码改变一下求R（N），已知的是R（0）。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>  using namespace std;  int temp[5][5],temp1[5][5];  void exchange(int sum,int k)
{  for(int i=1;i<=sum;i++)  {  for(int j=1;j<=sum;j++)  {  temp[i][j] = temp1[i][j] or temp1[i][k] and temp1[k][j];  }  }  for(int i=1;i<=sum;i++)  {  for(int j=1;j<=sum;j++)  {  temp1[i][j] = temp[i][j];  }  }
}  int main()
{  int sum;  cout<<"请输入你的矩阵边数："<<endl;  cin>>sum;  cout<<"请输入各边的关系："<<endl;  for(int i=1;i<=sum;i++)  {  for(int j=1;j<=sum;j++)  {  cin>>temp1[i][j];  }  }  exchange(sum,1);  cout<<"R（1）的传递闭包关系图如下："<<endl;  for(int i=1;i<=sum;i++)  {  int ff=0;  for(int j=1;j<=sum;j++)  {  if(ff++!=0)  cout<<' ';  cout<<temp1[i][j];  }  cout<<endl;  }  exchange(sum,2);  cout<<"R（2）的传递闭包关系图如下："<<endl;  for(int i=1;i<=sum;i++)  {  int ff=0;  for(int j=1;j<=sum;j++)  {  if(ff++!=0)  cout<<' ';  cout<<temp1[i][j];  }  cout<<endl;  }  exchange(sum,3);  cout<<"R（3）的传递闭包关系图如下："<<endl;  for(int i=1;i<=sum;i++)  {  int ff=0;  for(int j=1;j<=sum;j++)  {  if(ff++!=0)  cout<<' ';  cout<<temp1[i][j];  }  cout<<endl;  }  exchange(sum,4);  cout<<"R（4）的传递闭包关系图如下："<<endl;  for(int i=1;i<=sum;i++)  {  int ff=0;  for(int j=1;j<=sum;j++)  {  if(ff++!=0)  cout<<' ';  cout<<temp1[i][j];  }  cout<<endl;  }  return 0;
}

菜鸟的总结：在计算机里面计算矩阵的话，or 和 | 和 || ，and和 & 和 &&是一样的。想知道为什么吗？哈哈，去看一下，位操作那一张呗！

运行结果如下：

请输入你的矩阵边数：
4
请输入各边的关系：
0 1 0 0
0 0 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
R（1）的传递闭包关系图如下：
0 1 0 0
0 0 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
R（2）的传递闭包关系图如下：
0 1 1 1
0 0 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
R（3）的传递闭包关系图如下：
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
R（4）的传递闭包关系图如下：
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1--------------------------------
Process exited after 18.12 seconds with return value 0
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