关于一个简单函数方程问题的探究过程

这个问题是一个高中同学问我的，来源是某张高数卷子的原题。但这个问题并不严谨，据说高数卷子默认为给出的函数都是任意阶可导的，而且所有函数以及其所有导数全部连续。问题本身是很简单的，看一眼就能得到答案。但是在给出这么强的条件下，我不得不开始思考，满足这样条件的函数存在吗？

我“仔细思考”半个小时之后，写出比较冗长的步骤把这个问题给证伪了：这样的函数是不存在的。但是在我第二天拿出之前的草稿，发现自己有一个地方写错了，尽管错误不明显，无奈之下只能重新想别的办法否定这个问题。最后用别的办法把这个函数给求出来了。这个函数的形式竟然如此简单，但我为了得到这个函数却没有更简单的方法。这也是函数方程的困难所在，为了追求解题的严谨，解出函数的过程往往不那么容易。

那么，感兴趣的同学可以看一看我两次的论证过程，希望你可以从中体会到什么。

问题：已知f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),f(0)=0,f′(0)=1,g′(0)=0,求证:f′(x)=g(x).问题：已知f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),f(0)=0,f'(0)=1,g'(0)=0,求证:f'(x)=g(x).问题：已知f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),f(0)=0,f′(0)=1,g′(0)=0,求证:f′(x)=g(x).
证明：

等式两端对y求偏导数，得：
f′(x+y)=f(x)g′(y)+f′(y)g(x)⋯⋯①f'(x+y)=f(x)g'(y)+f'(y)g(x)\cdots\cdots①f′(x+y)=f(x)g′(y)+f′(y)g(x)⋯⋯①
令x=0，得：
f′(y)=f(0)g′(y)+f′(y)g(0)=g′(y)f'(y)=f(0)g'(y)+f'(y)g(0)=g'(y)f′(y)=f(0)g′(y)+f′(y)g(0)=g′(y)

证毕.

那么，我们怎么证明这个函数是不存在的呢？首先写出我第一次错误的证法。
证明:证明:证明:

在①式中令y=x，得：在①式中令y=x，得：在①式中令y=x，得：
f′(2x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)g(x)]′⋯⋯②f'(2x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=[f(x)g(x)]'\cdots\cdots②f′(2x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=[f(x)g(x)]′⋯⋯②对②式两端积分得：对②式两端积分得：对②式两端积分得：
f(2x)=f(x)g(x)+Cf(2x)=f(x)g(x)+Cf(2x)=f(x)g(x)+C令x=0：令x=0：令x=0：
0=0+C0=0+C0=0+C也即也即也即
C=0,f(2x)=f(x)g(x)⋯⋯③C=0,f(2x)=f(x)g(x)\cdots\cdots③C=0,f(2x)=f(x)g(x)⋯⋯③在题干的式子中，令x=y：在题干的式子中，令x=y：在题干的式子中，令x=y：
f(2x)=2f(x)g(x)⋯⋯④f(2x)=2f(x)g(x)\cdots\cdots④f(2x)=2f(x)g(x)⋯⋯④由③④知：由③④知：由③④知：
[f2(x)]′=2f(x)f′(x)=2f(x)g(x)=0[f^2(x)]'=2f(x)f'(x)=2f(x)g(x)=0[f2(x)]′=2f(x)f′(x)=2f(x)g(x)=0对上式积分：对上式积分：对上式积分：
f2(x)=C=f2(0)=0f^2(x)=C=f^2(0)=0f2(x)=C=f2(0)=0也就是也就是也就是
f(x)=0，f′(x)=0,与f′(0)=1矛盾！f(x)=0，f'(x)=0,与f'(0)=1矛盾！f(x)=0，f′(x)=0,与f′(0)=1矛盾！所以符合题意的函数是不存在的。所以符合题意的函数是不存在的。所以符合题意的函数是不存在的。

证毕.证毕.证毕.

有没有看出上述步骤的错误呢？其实在第二步“对②式两端积分”时，左边的积分的变量是2x，我当时没有考虑到这里的换元问题，导致等式右边的系数少了一个2，最后③式与④式应该是完全相同的。那么，我们重新来探究这个问题。

证明：证明：证明：

对题干中的式子，我们令x=−y，有：对题干中的式子，我们令x=-y，有：对题干中的式子，我们令x=−y，有：
0=f(x)f′(−x)+f(−x)f′(x)0=f(x)f'(-x)+f(-x)f'(x)0=f(x)f′(−x)+f(−x)f′(x) 构造函数F(x)=f(x)/f(−x),有F′(x)=0构造函数F(x)=f(x)/f(-x),有F'(x)=0构造函数F(x)=f(x)/f(−x),有F′(x)=0

两端积分：两端积分：两端积分： f(x)=Cf(−x)f(x)=Cf(-x)f(x)=Cf(−x) 两端求导：两端求导：两端求导：
f′(x)=−Cf′(−x)f'(x)=-Cf'(-x)f′(x)=−Cf′(−x) 令x=0：令x=0：令x=0：
C=−1C=-1C=−1 所以f(x)是奇函数,f′(x)是偶函数，f′′(x)是奇函数。所以f(x)是奇函数,f'(x)是偶函数，f''(x)是奇函数。所以f(x)是奇函数,f′(x)是偶函数，f′′(x)是奇函数。

在题干的式子中令y=−2x，我们有：在题干的式子中令y=-2x，我们有：在题干的式子中令y=−2x，我们有：
f(−x)=f(x)f′(−2x)+f(−2x)f′(x)f(-x)=f(x)f'(-2x)+f(-2x)f'(x)f(−x)=f(x)f′(−2x)+f(−2x)f′(x)把−x替换为x并利用奇偶性:把-x替换为x并利用奇偶性:把−x替换为x并利用奇偶性:
f(x)=−f(x)f′(2x)+f(2x)f′(x)⋯⋯⑤f(x)=-f(x)f'(2x)+f(2x)f'(x)\cdots\cdots⑤f(x)=−f(x)f′(2x)+f(2x)f′(x)⋯⋯⑤由④式，我们有：由④式，我们有：由④式，我们有：
f(2x)=2f(x)f′(x)⋯⋯⑥f(2x)=2f(x)f'(x)\cdots\cdots⑥f(2x)=2f(x)f′(x)⋯⋯⑥对其两端求导：对其两端求导：对其两端求导：
f′(2x)=[f′(x)]2+f(x)f′′(x)⋯⋯⑦f'(2x)=[f'(x)]^2+f(x)f''(x)\cdots\cdots⑦f′(2x)=[f′(x)]2+f(x)f′′(x)⋯⋯⑦将⑥⑦带入⑤式：将⑥⑦带入⑤式：将⑥⑦带入⑤式：
f(x)=−f(x)([f′(x)]2+f(x)f′′(x))+2f(x)[f′(x)]2f(x)=-f(x)([f'(x)]^2+f(x)f''(x))+2f(x)[f'(x)]^2f(x)=−f(x)([f′(x)]2+f(x)f′′(x))+2f(x)[f′(x)]2f(x)≠0时，有：f(x)≠0时，有：f(x)̸=0时，有：
1=[f′(x)]2−f(x)f′′(x)1=[f'(x)]^2-f(x)f''(x)1=[f′(x)]2−f(x)f′′(x)利用初值条件，解这个微分方程，我们有：利用初值条件，解这个微分方程，我们有：利用初值条件，解这个微分方程，我们有：
f(x)=xf(x)=xf(x)=x显然这个函数是满足条件的.显然这个函数是满足条件的.显然这个函数是满足条件的.

解决这个函数方程确实花了我不少精力，尤其是在解最后一个微分方程时，过程是相当复杂的，这里省略了解方程的步骤。可见做出一个断言之前必须要有充分的理论支持。即使认为一个结论不正确，也应该自己在纸上把每一步的想法写清楚才能成功。这也是我的老师经常教我的：再显然的结论，也要严谨地写出来，不然等到你失败了，一切都晚了。

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