傅里叶级数与解调；频谱与频谱密度

傅里叶级数展开：

以IQ调制的调制信号为例：

显然，只要求出傅里叶级数的系数c1，就可解调出a和b。

傅里叶级数计算公式：

可将复傅里叶级数展开式f(t)理解为一系列旋转向量的和，傅里叶级数ck为各旋转向量的初始位置，三维频谱图如下：

如果f(t)中含有某个旋转向量e^jmw0t，用与它相反的旋转向量e^-jmw0t与f(t)相乘，则该旋转向量不再旋转，停在cm位置，而其他相乘后的向量依旧旋转，积分后得到cm。

利用复数运算解调的过程实际上就是求傅里叶系数c1的过程。

傅里叶级数的另一种表示方式（单边）：

傅里叶系数的计算公式：

而这与OFDM的解调过程完全一致：

傅里叶变换

使用信号x(t)去调制载波cosw0t的过程，就是把X(w)一分为二沿频率轴向左、向右各平移w0的过程

使用信号x(t)去调制载波sinw0t的过程，就是把X(w)一分为二沿频率轴向左、向右各平移w0，并且左移的频谱还要顺时针旋转90度，右移的频谱还要旋转逆时针旋转90度

非周期矩形波连续谱推导

推广到非周期信号的连续谱

几个容易混淆的概念：

频谱：周期性的功率信号展开成的傅里叶级数的系数

频谱密度：非周期的能量信号的傅里叶变换

频谱是离散谱，频谱密度是连续谱；

频谱的单位是V，频谱密度的单位是V/Hz。

如何理解？

周期信号的傅里叶级数的意义是信号在每一个离散频率分量的幅值；

非周期信号的傅里叶变换可以理解成周期为无穷大的周期信号的傅里叶级数。这时，离散的频率逐渐贴近成连续的频率，能量信号有限，并且分布在连续时间轴上，所以每一个频率f上的信号幅度是无穷小，只有在一小段频率间隔上才有确定的非零振幅，所以是频谱密度。

由此就可以理解上面式子推导傅里叶变换与频谱密度的关系了：

参考资料：深入浅出--通信原理

傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06

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