题目描述：

求解Prime Fibonacci 数列 P 的第 N 位(即该数列中不能被别的 Fibonacci 数整除的数)。 (P1=2,P2=3,P3=5,P4=13⋯)(P_1=2, P_2=3, P_3=5, P_4=13⋯)(P1=2,P2=3,P3=5,P4=13⋯)

由于答案过大，所以答案 Pn3&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;m\frac{P_n}{3} \bmod m3Pnmodm (题目保证gcd(3, m) = 1)

输入描述：

多组输入，每组数据输入n,mn, mn,m两个正整数(1 ≤\le≤ n ≤\le≤ 500000, 4 ≤\le≤ m ≤\le≤ 1000000000，组数不大于 50000)

输出描述：

对于每组测试数据输出Pn3&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;m\frac{P_n}{3} \bmod m3Pnmodm
答案保留 9 位字符，不足则补 *

输入样例：

2 5

输出样例：

********1

思路

根据Prime Fibonacci数列性质：对于原始Fibonacci数列，从F(5)开始，某项为Fibonacci质数当且仅当它的项数为质数，所以初始化得到prim[]质数序列，即Prime Fibonacci数列在原始Fibonacci数列中的项数序列，从而可以得到PnP_nPn在原始Fibonacci数列的哪一项；

然后快速Fibonacci数列的方法得到该项mod m的值，结果就是该值乘以3对于m的逆元mod m。

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ac代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn = 7400000;
bool vis[maxn+10];
long long pri[maxn+10];
long long n, mod, ni;struct Matrix {long long ma[2][2];
};Matrix mul(Matrix A,Matrix B) {Matrix C;C.ma[0][0] = C.ma[0][1] = C.ma[1][0] = C.ma[1][1] = 0;for(int i = 0; i < 2; i++) {for(int j = 0; j < 2; j++) {for(int k = 0; k < 2; k++) {C.ma[i][j] = (C.ma[i][j] + A.ma[i][k] * B.ma[k][j]) % mod;}}}return C;
}
Matrix pow_mod(Matrix A, long long n) {Matrix B;B.ma[0][0] = B.ma[1][1] = 1;B.ma[0][1] = B.ma[1][0] = 0;while(n) {if(n & 1) B = mul(B,A);A = mul(A, A);n >>= 1;}return B;
}
long long quick_fibonacci(long long n) {Matrix A;A.ma[0][0] = 1; A.ma[0][1] = 1;A.ma[1][0] = 1; A.ma[1][1] = 0;Matrix ans = pow_mod(A, n);return ans.ma[0][1];
}long long extend_gcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) {if (b == 0) {x = 1, y = 0;return a;}else {long long r = extend_gcd(b, a % b, y, x);y -= x * (a / b);return r;}
}
long long inv(long long a, long long n) {long long x, y;extend_gcd(a, n, x, y);x = (x % n + n) % n;return x;
}int main() {int cur = 5;long long i, j;for(i = 2; i <= maxn; i++) vis[i] = false;for(i = 2; i <= maxn; i++) {if(!vis[i]){for(j = i*i; j <= maxn; j += i) vis[j] = 1;}}for(i = 11; i <= maxn; i++)if(vis[i] == 0) {pri[cur++] = i;}while(cin >> n >> mod){ni = inv(3, mod);long long ans;if(n == 1) ans = 2*ni%mod;else if(n == 2) ans = 3*ni%mod;else if(n == 3) ans = 5*ni%mod;else if(n == 4) ans = 13*ni%mod;else ans = quick_fibonacci(pri[n])*ni%mod;string res = to_string(ans);if(res.size() < 9) res = string(9-res.size(), '*') + res;cout << res << endl;}
}

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