【堆】【DP】Niyaz and Small Degrees（luogu 7600[APIO 2021 T3]/luogu-CF1119F）

正题

luogu 7600[APIO 2021 T3]
luogu-CF1119F

题目大意

给你一棵树，给出每条边割掉的代价，问你对于0⩽k<n0\leqslant k<n0⩽k<n，使得每个点的度数小于k的最小代价

解题思路

首先考虑单询问的情况

可以设fx,1/0f_{x,1/0}fx,1/0表示第x个点到父节点的边连/不连的最小代价

对于点x，最多连k个点，那么要割掉至少degx−kdeg_x-kdegx−k个点

假设所有子节点都连，计算出割掉某个子节点的连边的代价（从连到不连，−fson,1+fson,0+len-f_{son,1}+f_{son,0}+len−fson,1+fson,0+len），然后从中选择degx−kdeg_x-kdegx−k个最小代价的点（如果割掉更优则尽量割），该操作可以用堆实现

当k较大时，不难发现，很多点已经满足deg⩽kdeg\leqslant kdeg⩽k的条件，没有计算的意义

所以对于点x（degx⩽kdeg_x\leqslant kdegx⩽k），x已经满足条件，所以不用管该点，然后在连接的点中加上该点（对于这些点还有意义）

对于每个点，可以用两个堆维护一个可删堆，对于deg>kdeg>kdeg>k的点，用完后要删掉（下一轮中数值会改变），而对于deg⩽kdeg\leqslant kdeg⩽k的点,，为数值不会改变，所以不删

综上，每轮将无用的点删掉，然后计算有用的点

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 500010
using namespace std;
ll n, w, h, ans, summ;
ll p[N], s[N], f[N][2], gt[N], addl[N], dell[N], deg[N];
struct lne
{ll x, y, z;
}l[N];
struct rec
{ll to, l;
};
vector<rec>a[N];
bool cmp(lne x, lne y)
{return deg[x.y] > deg[y.y];
}
bool cmpp(ll x, ll y)
{return deg[x] < deg[y];
}
struct heap//可删堆
{priority_queue<int>d1, d2;ll sum;ll sz(){return d1.size() - d2.size();}void clear(){while(d1.size() && d2.size() && d1.top() == d2.top())d1.pop(), d2.pop();return;}void add(ll x){d1.push(x);sum += x;return; }void del(ll x){d2.push(x);sum -= x;clear();return;}void pop(){sum -= d1.top();d1.pop();clear();return;}ll top(){ll g = d1.top();pop();return g;}
}d[N];
void dfs(ll x, ll fa, ll k)
{p[x] = k;f[x][0] = f[x][1] = 0;for (int i = 0; i < a[x].size(); ++i){ll y = a[x][i].to;if (deg[y] <= k) break;if (y != fa)dfs(y, x, k);}ll an = 0, dn = 0, num = deg[x] - k;while(d[x].sz() > num) d[x].pop();for (int i = 0; i < a[x].size(); ++i){ll y = a[x][i].to, z = a[x][i].l;if (deg[y] <= k) break;if (y != fa){if (f[y][1] < f[y][0] + z)//计算代价{f[x][1] += f[y][1];d[x].add(-f[y][1] + f[y][0] + z);dell[++dn] = -f[y][1] + f[y][0] + z;}else num--, f[x][1] += f[y][0] + z;//代价小于1的就直接删，而且要删的边少一条}}f[x][0] = f[x][1];while(d[x].sz() > max(num, 0ll))//已经删的边可能大于要删的边，所以要取maxaddl[++an] = d[x].top();f[x][1] += d[x].sum;while(d[x].sz() > max(num - 1, 0ll))addl[++an] = d[x].top();f[x][0] += d[x].sum;for (int i = 1; i <= an; ++i)d[x].add(addl[i]);//补回去for (int i = 1; i <= dn; ++i)d[x].del(dell[i]);return;
}
int main()
{scanf("%lld", &n);for (ll i = 1; i < n; ++i){w++;scanf("%lld%lld%lld", &l[w].x, &l[w].y, &l[w].z);w++;l[w] = l[w - 1];swap(l[w].x, l[w].y);deg[l[w].x]++;deg[l[w].y]++;summ += l[w].z;}for (ll i = 1; i <= n; ++i)s[i] = i;sort(l + 1, l + 1 + w, cmp);//边从小到大排，当枚举一个点的连边时，如果度数小于等于k，那么接下来的点都没有意义sort(s + 1, s + 1 + n, cmpp);for (ll i = 1; i <= w; ++i)a[l[i].x].push_back((rec){l[i].y, l[i].z});printf("%lld", summ);h = 1;for (ll k = 1; k < n; ++k){ans = 0;while(deg[s[h]] <= k && h <= n)//没用的点删掉{for (ll i = 0; i < a[s[h]].size(); ++i)if (deg[a[s[h]][i].to] > k)d[a[s[h]][i].to].add(a[s[h]][i].l);else break;h++;}for (ll i = h; i <= n; ++i)if (p[s[i]] < k){dfs(s[i], 0, k);ans += f[s[i]][1];}printf(" %lld", ans);}return 0;
}