数学建模学习笔记（八）—

文章目录

一、分类模型综述
二、逻辑回归
三、两点分布（伯努利分布）
四、连接函数的取法
五、Logistic回归模型
六、在SPSS中进行二元Logistic回归
七、预测结果较差的解决
八、Fisher线性判别分析
九、多分类问题
十、总结

一、分类模型综述

通过样本数据中的分类依据以及具体的分类类别，预测后续给出的对象属于哪一类，这就是分类模型。

本文将采用逻辑回归和Fisher线性判别分析这两种分类算法来进行对象分类。

二、逻辑回归

类型	模型	Y的特点	例子
线性回归	OLS、GLS（最小二乘）	连续数值变量	GDP、收入等
0 - 1回归	logistic回归	二值变量（0 - 1）	是否喜欢、是否到达等
定序回归	prohibit定序回归	定序变量	等级评定，喜爱程度等
计数回归	泊松回归（泊松分布）	计数变量	每分钟车流量，次数等
生存回归	Cox等比例风险回归	生存变量	企业、产品的寿命等

逻辑回归的因变量即为二值变量类型，可以将 yyy 看作属于某一类的概率—— y⩾0.05y \geqslant 0.05y⩾0.05，则属于这一类；反之，y⩽0.05y \leqslant 0.05y⩽0.05，则不属于这一类。

三、两点分布（伯努利分布）

事件	1	0
概率	ppp	1−p1 - p1−p

在给定 x\mathbf{x}x 的情况下，考虑 yyy 的两点分布概率

{P(y=1∣x)=F(x,β)P(y=0∣x)=1−F(x,β)\left\{ \begin{aligned} &P(y = 1|\mathbf{x}) = F(\mathbf{x}, \mathbf{\beta}) \\ &P(y = 0|\mathbf{x}) = 1 - F(\mathbf{x}, \mathbf{\beta}) \end{aligned} \right.{P(y=1∣x)=F(x,β)P(y=0∣x)=1−F(x,β) 注：一般 F(x,β)=F(xi′β)F(\mathbf{x}, \mathbf{\beta}) = F(\mathbf{x_i'\beta})F(x,β)=F(xi′β)

F(x,β)F(\mathbf{x}, \beta)F(x,β) 称为连接函数，它将解释变量 xxx 和被解释变量 yyy 连接起来。
我们只需要保证 F(x,β)F(\mathbf{x}, \beta)F(x,β) 是值域在 [0,1][0, 1][0,1] 上的函数，就能保证 0⩽y^⩽10 \leqslant \hat{y} \leqslant 10⩽y^⩽1。

根据两点分布求概率的公式：E(y∣x)=1×P(y=1∣x)+0×P(y=0∣x)=P(y=1∣x)E(y|\mathbf{x}) = 1 \times P(y = 1|\mathbf{x}) + 0 \times P(y = 0|\mathbf{x}) = P(y = 1|\mathbf{x})E(y∣x)=1×P(y=1∣x)+0×P(y=0∣x)=P(y=1∣x)，因此可以将 y^\hat{y}y^ 理解为 y=1y = 1y=1 发生的概率。

四、连接函数的取法

F(x,β)F(\mathbf{x}, \beta)F(x,β) 可以取为标准正态分布的累积密度函数(cdfcdfcdf)：F(x,β)=Φ(xi′β)=∫−∞xi′β12πe−t22dtF(\mathbf{x}, \beta) = \Phi(\mathbf{x_i}'\beta) = \int^{\mathbf{x_i}'\beta}_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dtF(x,β)=Φ(xi′β)=∫−∞xi′β2π1e−2t2dt(probit回归)
F(x,β)F(\mathbf{x}, \beta)F(x,β) 可以取为 SigmoidSigmoidSigmoid 函数F(x,β)=S(xi′β)=exp(xi′β)1+exp(xi′β)F(\mathbf{x}, \beta) = S(\mathbf{x_i}'\beta) = \frac{exp(\mathbf{x_i}'\beta)}{1 + exp(\mathbf{x_i}'\beta)}F(x,β)=S(xi′β)=1+exp(xi′β)exp(xi′β)(logistic回归)
可以看出，前者计算积分会比较困难，因此我们可以选择使用更为方便的logistic模型。

五、Logistic回归模型

在给定 x\mathbf{x}x 的情况下，考虑 yyy 的两点分布概率{P(y=1∣x)=F(x,β)P(y=0∣x)=1−F(x,β)\left\{ \begin{aligned} &P(y = 1|\mathbf{x}) = F(\mathbf{x}, \beta) \\ &P(y = 0|\mathbf{x}) = 1 - F(\mathbf{x}, \beta) \end{aligned} \right.{P(y=1∣x)=F(x,β)P(y=0∣x)=1−F(x,β)因为 E(y∣x)=1×P(y=1∣x)+0×P(y=0∣x)=P(y=1∣x)E(y|\mathbf{x}) = 1 \times P(y = 1|\mathbf{x}) + 0 \times P(y = 0|\mathbf{x}) = P(y = 1|\mathbf{x})E(y∣x)=1×P(y=1∣x)+0×P(y=0∣x)=P(y=1∣x)，因此可以将 y^\hat{y}y^ 理解为 y=1y = 1y=1 发生的概率。
yi^=P(yi=1∣x)=S(xi′β)=exp(xi′β)1+exp(xi′β)=eβ0^+β1^x1i+β2^x2i+⋯+βk^xki1+eβ0^+β1^x1i+β2^x2i+⋯+βk^xki\hat{y_i} = P(y_i = 1|\mathbf{x}) = S(\mathbf{x_i}'\beta) = \frac{exp(\mathbf{x_i}'\beta)}{1 + exp(\mathbf{x_i}'\beta)} \\= \frac{e^{\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_{1i} + \hat{\beta_2}x_{2i} + \cdots + \hat{\beta_k}x_{ki}}}{1 + e^{\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_{1i} + \hat{\beta_2}x_{2i} + \cdots + \hat{\beta_k}x_{ki}}}yi^=P(yi=1∣x)=S(xi′β)=1+exp(xi′β)exp(xi′β)=1+eβ0^+β1^x1i+β2^x2i+⋯+βk^xkieβ0^+β1^x1i+β2^x2i+⋯+βk^xki 如果 yi^⩾0.5\hat{y_i} \geqslant 0.5yi^⩾0.5，则认为其预测的 y=1y = 1y=1；否则则认为其预测的 y=0y = 0y=0

六、在SPSS中进行二元Logistic回归

回归结果：

回归结果表示19个苹果样本，预测为苹果的有14个，正确率为73.7%；同理，预测为橙子的结果有15个，预测的正确率为78.9%。

通过这样的回归我们便可以知道 β0,β1,⋯,βk\beta_0, \beta_1, \cdots, \beta_kβ0,β1,⋯,βk 的值（表格第三列）。

将后续数据带入方程后，若 yi^⩾0.5\hat{y_i} \geqslant 0.5yi^⩾0.5，则说明其预测的结果是苹果，否则则为橙子。

同时，我们还可以在表格中看到这两列：

这里可以查看具体预测的值和具体的预测结果。

七、预测结果较差的解决

若对预测结果不满意，可以在logistic回归模型中加入平方项、交互项等

如果加入了平方项，那么预测的结果：

完全符合，这种现象叫做过拟合现象。其对于样本数据预测得非常好，但是对于样本外的数据得预测效果可能会差很多。

那么我们该如何确定合适得预测模型呢？
可以将数据分为训练组和测试组（一般是八二开），让训练组取估计模型，然后用测试组得数据来进行测试。可以多进行几次，求得每个模型的平均准确率，取准确率最高的那个模型。（交叉验证）

八、Fisher线性判别分析

主要思想
给定训练集样例，设法将样例投影到一维的直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近和密集，异类投影点尽可能远离。
在SPSS中进行Fisher线性判别分析
结果为：

这个表格表示线性系数。

还可以从表格后面多出的列中得到具体的预测结果。

九、多分类问题

多分类问题
在二分类的问题上，类别不再是只有两个类别，现在有多个类别。
使用Logistic回归解决多分类问题
在SPSS中进行logistic回归分析，可以得出结果：

可以得出预测分类结果。
使用Fisher判别分析解决多分类问题
同样可以使用Fisher判别分析来求解多分类问题。在定义范围的时候将范围扩大即可。

从结果表格中同样可以得出预测分类结果。

十、总结

解决分类模型，主要步骤可以总结为一下几点：

确定类别以及分类数据；
Logistic回归 or Fisher判别分析？
若是Logistic回归，预测结果怎么样？是否需要训练出合适的模型？
根据模型在SPSS中调用对应的命令得出结果；
对结果进行解释。