文章目录

一、树的基本概念
- 树的性质
二、二叉树
- 满二叉树
- 完全二叉树
- 二叉排序树
- 平衡二叉树
- 二叉树的性质
- 完全二叉树的性质
三、二叉树的储存结构
- 顺序储存
- 链式存储
四、树的储存方式
- 双亲表示法
- 孩子表示法
- 孩子兄弟表示法（二叉树表示法）
五、二叉树的遍历
- 先序遍历（preOrder、NLR）
- 中序遍历（inOrder、LNR）
- 后序遍历（postOrder、LRN）
- 中序遍历的非递归算法
- 先序遍历的非递归算法
- 后序遍历的非递归算法
- 层次遍历
- 由遍历序列构造二叉树
六、线索二叉树
- 二叉线索化
- 遍历线索二叉树
七、森林
- 树转换为二叉树
- 森林转换为二叉树
- 二叉树转换为森林
- 树的遍历
- 森林的遍历
八、二叉排序树（BST）
- BST的插入
- BST的删除
- BST的查找
- BST与二分查找
九、平衡二叉树
- 平衡二叉树的插入
十、哈夫曼树
- 构造哈夫曼树
- 哈夫曼编码

一、树的基本概念

树的定义是递归的，树本身也是一种递归的数据结构。其作为一种逻辑结构，同时也是一种分层结构。树适合表示具有层次结构的数据。
度：一个结点的的孩子个数
树的度：树中结点的最大度数
数中的分支是有向的，即从双亲指向孩子，所以数中的路径只能是从上往下的。同一个双亲的孩子间不存在路径。

树的性质

树中结点等于所有结点的度数之和加1，即总边数+1=度数之和
度为 m 的树中，第 i 层上至多有mi−1m^{i-1}mi−1个结点
高度为 h 的 m 叉树至多有mh−1m−1\frac{m^h-1}{m-1}m−1mh−1个结点
具有 n 个结点的 m 叉树最小高度为⌈log⁡m(n(m−1)+1)⌉\lceil \log_m(n(m-1)+1)\rceil⌈logm(n(m−1)+1)⌉

二、二叉树

二叉树是一种特殊的树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树，但其度可以小于2；并且二叉树的子树有左右之分，即使树中结点只有一棵子树，也要区分其是左子树还是右子树。

满二叉树

高度为h，且含有2h−12^{h-1}2h−1个结点的二叉树称为满二叉树，即树中每层都有最多的结点。
根结点从1开始编号，若结点编号为 i，其双亲为⌊i/2⌋\lfloor i/2\rfloor⌊i/2⌋ 其左孩子为2i，右孩子为2i+1。

完全二叉树

性质：

若结点编号 i≤⌊n/2⌋i \leq \lfloor n/2 \rfloori≤⌊n/2⌋，则结点为分支结点，否则为叶子系结点。
叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。最有有一个度为1的结点，且该结点只有左孩子。
若n为奇数，则每个分支结点都有左右孩子

二叉排序树

左子树上所有结点的关键字都小于根结点，右子树上的所有结点关键字都大于根结点。

平衡二叉树

树上任一结点的左右子树深度之差不超过1

二叉树的性质

非空二叉树的叶子结点数等于度为2的结点数+1，即 n0=n2+1n_0=n_2+1n0=n2+1
非空二叉树上第 k 层至多有2k−12^{k-1}2k−1个结点
高度为 h 的二叉树至多有 2h−12^h-12h−1个结点
结点数为n的二叉树有(2n)!n!(n+1)!\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}n!(n+1)!(2n)!种形态（卡特兰数）

完全二叉树的性质

结点 i 的双亲编号为⌊i2⌋\lfloor \frac{i}{2} \rfloor⌊2i⌋，即当 i 为偶数时（左孩子），其双亲的编号为 i/2，当i为奇数时，其双亲编号为(i-1)/2。
推论：具有n个结点的完全二叉树，编号最大的分支节点为⌊n2⌋\lfloor \frac{n}{2}\rfloor⌊2n⌋
结点 i 所在层次为⌈log⁡2[i(2−1)+1]⌉=⌊log⁡2i⌋+1\lceil \log_2[i(2-1)+1]\rceil=\lfloor \log_2i\rfloor+1⌈log2[i(2−1)+1]⌉=⌊log2i⌋+1

三、二叉树的储存结构

顺序储存

用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右储存完全二叉树的结点元素。
对于一般的二叉树，必须添加一些空结点。

链式存储

在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域

四、树的储存方式

双亲表示法

采用一组连续空间来储存每个结点，同时在每个结点中增设一个伪指针，指示其双亲结点在数组中的位置。根结点的下标为0，其伪指针域为-1。
该存储结构可以很快得到每个结点的双亲位置，但求结点孩子时需要遍历整个结构。

孩子表示法

为每个结点创建一个链表，将该结点的孩子都用单链表接起来。再将所有结点顺序存储在一个数组中，数组中每个元素不但储存结点，还设置一个指针域，指向该结点的孩子链表。n个结点就有n个孩子链表（叶子结点的孩子链表为空表）。
这种方式寻找子女的操作非常直接，而寻找双亲的操作需要遍历所有孩子链表。

孩子兄弟表示法（二叉树表示法）

以二叉链表作为树的存储结构。
二叉树的左指针指向其第一个孩子，右指针指向其下一个兄弟。沿着右指针可以找到所有兄弟结点。
最大优点是可以方便实现树到二叉树的转换，易于找到结点的孩子。缺点是查找双亲结点比较麻烦，可以添加一个parent域指向父结点来解决。

五、二叉树的遍历

先序遍历（preOrder、NLR）

void preOrder(BiTree T){if(T != NULL){visit(T);preOrder(T->lchild);preOrder(T->rchild);}
}

中序遍历（inOrder、LNR）

void inOrder(BiTree T){if(T != NULL){inOrder(T->lchild);visit(T);inOrder(T->rchild);}
}

后序遍历（postOrder、LRN）

无论哪种遍历，访问左右子树的顺序都是固定的，只是访问根结点的顺序不同。
每个结点都只访问一次，时间复杂度均为O(n)。
递归工作栈的栈深恰为树的高度。在最坏情况下，n个结点的树高为n，空间复杂度为O(n)。

中序遍历的非递归算法

关键是用栈记录当前结点的祖先

void inOrder(BiTree T){initStack(S);BiTree p = T;  // 遍历指针while( !isEmpty(S) || p ){if(p){push(S, p);p = p-> lchild;  // 一路向左}else{  // 无法向左下继续前进，访问子树根结点，进入根结点右子树pop(S, p);visit(p);p = p->rchild;}}
}

先序遍历的非递归算法

先序遍历和中序遍历的基本思想类似，只需把访问结点操作放在入栈操作前

void inOrder(BiTree T){initStack(S);BiTree p = T;while( !isEmpty(S) || p ){if(p){visit(p);push(S, p);p = p-> lchild;}else{pop(S, p);p = p->rchild;}}
}

后序遍历的非递归算法

沿着根的左孩子，依次入栈，直到左孩子为空。
读栈顶元素：若其右孩子不空且未被访问过，进入右孩子并执行1⃣️；否则元素出栈并访问。需要设定一个辅助指针指向最近访问过的结点，用于区分访问该结点时，其上一个结点是它的左子树还是右子树。

void postOrder(BTree T){initStack(S);BTree p = T;BTree r = NULL;    // 记录访问的上一个结点while(p || isEmpty(S)){if(p){    //一直走到树的最左边push(S, p);p = p->lchild;}else{getTop(S, p);if(p->rchild && p->rchild != r){    // 若未访问过右子树，进入p = p-> rchild;}else{    // 右子树已访问过，访问根结点pop(S, p);visit(p);r = p;    // 记录最近访问的结点p = NULL;    // 遍历完该子树，置空}}     }
}

从栈底结点再加上p结点，刚好构成从根结点到p结点的一条路径。

层次遍历

void leverOrder(BiTree T){initQueue(Q);BiTree p;enQueue(Q, T);while( !isEmpty(Q) ){deQueue(Q, p);visit(p);if(p->lchild != NULL)enQueue(Q, p->lchild);if(p->rchild != NULL)enQueue(Q, p->rchild);}
}

由遍历序列构造二叉树

由二叉树的先序序列和中序序列可以唯一确定一个二叉树
在先序遍历序列中，第一个结点一定是二叉树的根结点；而在中序遍历中，根结点必然将中序序列分割成两个子序列。

由二叉树的后序序列和中序序列可以唯一确定一个二叉树
后序序列的最后一个结点一定是二叉树的根结点。

由二叉树的层次遍历和中序遍历可以唯一确定一个二叉树

六、线索二叉树

增加两个标志域表示指针域是指向左（右）孩子还是指向前驱（后继）。
以这种结点结构构成的二叉链表作为二叉树的存储结构，其中指示结点前驱及后继信息的指针称作线索。加上线索的二叉树称为线索二叉树。
引入线索二叉树能够加快查找结点前驱和后继的速度，像遍历单链表那样方便地遍历二叉树。
线索化的实质就是遍历一次二叉树。

二叉线索化

使用指针pre指向刚刚访问过的结点，p指向正在访问的结点，即pre指向p的前驱。
在遍历的过程中，检查p的左指针是否为空，若为空就将其指向pre；同样的检查pre的右指针。
中序遍历线索化代码如下

void creatInThread(ThreadTree T){ThreadTree pre = NULL;if(T != NULL){inThread(T, pre);pre->rchild = NULL;  // 处理遍历的最后一个结点pre->rtag = 1;}
}void inThread(ThreadTree &p, ThreadTree &pre){if( p!= NULL ){  inThread(p->lchild, pre);// visitif( p->lhild == NULL ){p->lhild = pre;p->ltag = 1;}if( pre != NULL && pre->rchild == NULL ){pre->rchild = p;pre->rtag = 1;}pre = p;inThread(p->rchild, pre);}
}

为了方便，可以在二叉树的线索链表上添加一个头结点，令其lchild域指向二叉树的根结点，其rchild域指向中序遍历的最后一个结点，再把中序遍历的第一个结点的lchild域指向头结点。这样就为二叉树建立了一个双向线索链表。

建立先序线索二叉树和后序线索二叉树的代码类似，只需变动线索化改造的代码段以及调用左右子树递归函数的位置。

先序线索化与后序线索化最多有1个空指针域；中序线索化最多有2个空指针域。

遍历线索二叉树

中序线索二叉树的结点隐含了线索二叉树的前驱后继信息，在对其进行遍历时，只要先找到序列中的第一个结点，然后依次找结点的后继即可。
不含头结点的中序线索二叉树遍历算法如下

void inOrder(ThreadTree T){ThreadTree p = firstNode(T);  // 获取遍历的起始结点while( p != NULL ){visit(p);p = nextNode(p);  // 获得下一个遍历结点}
}ThreadTree firstNode(ThreadTree p){while( p->ltag == 0 ){p = p->lchild;}return p;
}ThreadTree nextNode(ThreadTree p){if( p->rtag == 0)return firstNode(p->rchild);  // 返回右子树的最左结点，即下一个要遍历的结点elsereturn p->rchild;
}

对于先序线索二叉树，如果有左孩子，则左孩子就是其直接后继；如果无左孩子但是有右孩子，则右孩子就是其直接后继；如果是叶结点，其右链域指向了结点的后继。

对于后继线索二叉树，其寻找后继需要知道结点双亲，需采用带标志域的三叉链表作为存储结构。

七、森林

森林是m棵互不相交的树的集合。只需把树的根结点删除就成了森林；反之，只要给m棵独立的树加上一个结点，并把这m棵树作为该结点的子树，则森林就成了树。

树转换为二叉树

二叉树和树都可以用二叉链表作为存储结构，给定一棵树，可以找到唯一一棵二叉树与之对应。

对于一棵树，每个结点左指针指向它的第一个孩子，右指针指向它在树中的相邻右兄弟。
这种规则下，根结点只有左孩子。

森林转换为二叉树

先将森林中的每一棵树转换为二叉树，由于任何一棵树对应的二叉树右子树必空，只需把所有二叉树的根结点用其右指针连接起来即可，即将所有树的根结点视为兄弟结点。

二叉树转换为森林

若二叉树非空，则二叉树根的右子树棵视为其余树形成的二叉树，将其与根断开，以此类推，把所有子树释放。再将每棵二叉树依次转换成树，就得到了原森林。
二叉树转换成树或森林也是唯一的。

树的遍历

先根遍历
若树非空，先访问根结点，再依次遍历根结点的每棵子树。
先根遍历的遍历序列与对应二叉树的先序序列相同
后根遍历（中根遍历）
若树非空，先依次遍历根结点的每棵子树，再访问根结点。
后根遍历的遍历序列与对应二叉树的中序序列相同
层次遍历

森林的遍历

先序遍历森林
若森林非空，按如下规则进行遍历：
- 访问森林中第一棵树的根结点
- 先序遍历第一棵树中根结点的子树森林
- 先序遍历其余树的森林
中序遍历森林
若森林非空，按如下规则进行遍历（实际上就是依次后根遍历森林中的每一棵树）：
- 中序遍历森林中第一棵树的根结点的子树森林
- 访问第一棵树的根结点
- 中序遍历其余树的森林

森林的先序遍历和中序遍历即为对应二叉树的先序和中序遍历。

八、二叉排序树（BST）

对于二叉排序树（二叉查找树），若左子树非空，则左子树的所有结点值均小于根结点的值，且也为一棵二叉排序树；若右子树非空，则右子树的所有结点值均大于根结点的值，且也为一棵二叉排序树。
二叉排序树可以是空树。

对二叉排序树进行中序遍历，可以得到一个有序序列。

BST的插入

按照如下规则递归进行：

若树空，则直接插入结点
若关键字k小于根结点，则插入到左子树
若关键字k大于根结点，则插入到右子树

插入的结点一定是一个新添加的叶结点，且是查找失败时路径上访问的最后一个结点的孩子。
若插入序列是有序的，则会形成一个倾斜的单支树，导致二叉树的性能显著变坏。

BST的删除

分为三种情况进行：

若被删除结点z是叶结点，直接删除
若结点z只有左子树或只有右子树，让z的子树成为z父结点的子树替代z的位置
若结点z有左、右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）代替z，再按第一或第二种情况考虑。

BST的查找

从根结点开始，将给定值与根结点关键字比较：

若相等，查找成功
若小于根结点关键字，进入左子树进行查找
若大于根结点关键字，进入右子树进行查找

二叉排序树的查找效率，主要取决于树的高度。若二叉树左右子树高度之差不超过1（平衡二叉树），则平均查找长度为O(log⁡2n)O(\log_2n)O(log2n)，若二叉排序树每个结点都只有一个结点，平均查找长度为O(n)O(n)O(n)。

BST与二分查找

从查找过程看，二叉排序树与二分查找十分相似，其平均时间性能差不多；但二分查找的判定树唯一，二叉排序树则不唯一。

从结构的维护角度看，二叉排序树无序移动结点，只需修改指针即可完成插入删除操作，平均执行时间是O(log⁡2n)O(\log_2n)O(log2n)；二分查找的对象是有序顺序表，若插入删除结点，所花时间是O(n)O(n)O(n)。

若有序表是静态查找表，宜采用顺序表作为存储结构，采用二分查找进行查找操作。
若有序表是动态查找表，宜采用二叉排序树作为其逻辑结构。

九、平衡二叉树

为避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定插入和删除二叉树的结点时，保证任意结点的左右子树高度差不超过1。

以nhn_hnh表示深度为h的平衡树中含有的最少结点数，有递推公式nh=nh−1+nh−2+1n_h=n_{h-1}+n_{h-2}+1nh=nh−1+nh−2+1，且n0=0n_0=0n0=0，n1=1n_1=1n1=1。
含有n个结点的平衡二叉树最大深度为O(log⁡2n)O(\log_2n)O(log2n)，平均查找长度也为O(log⁡2n)O(\log_2n)O(log2n)。

平衡因子：结点左右子树的高度差，取值范围为-1、0、1。

平衡二叉树的插入

保持二叉树平衡的基本思路：每当插入或删除一个结点，检查该结点到根结点路径上的每个结点的平衡因子，调整不平衡的最小子树的结构，在保持二叉排序树特性的前提下，使之重新平衡。

对于一个新结点，先按照普通二叉排序树的规则进行插入操作，再找到其最小不平衡树，分情况进行调整：

LL平衡旋转（右单旋转）：在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，使A的平衡因子增加为2，导致A为根的子树失去平衡。
进行一次向右的旋转操作：将A的左孩子B向右上旋转，代替A成为根结点；将A结点向右下旋转，成为B的右子树的根结点；而B的原右子树则作为A的左子树。
RR平衡旋转（左单旋转）：在结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，使A的平衡因子减少为-2，导致A为根的子树失去平衡。
进行一次向左的旋转操作：将A 的右孩子B向左上旋转，代替A成为根结点；将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点；而B的原左子树则成为A的右子树。
LR平衡旋转（向左后右双旋转）：在A的左孩子（L）的右子树（R）上插入了新结点。
进行两次旋转操作，先左旋转再右旋转：先将A结点的左孩子B的右子树根结点C向左上旋转提升到B结点的位置，此时问题转化为情形1，只需将C结点再向右上旋转提升到A结点的位置。
RL平衡旋转（向右后左双旋转）：在A的右孩子（R）的左子树（L）上插入了新结点。
进行两次旋转操作，先右旋转再左旋转：先将A结点的右孩子B的左子树根节点C向右上旋转提升到B结点的位置，此时问题转化为情景2，只需将C结点再向左上旋转提升到A结点的位置。

十、哈夫曼树

为树中结点赋予一个数值，成为该结点的权。从根结点到任意结点的路径长度lll（经过的边数）与该节点上权值www的乘积称为该结点的带权路径长度。树中所有叶结点的带权路径长度之和称为树的带权路径长度。即WPL=∑i=1nwiliWPL=\sum_{i=1}^nw_il_iWPL=∑i=1nwili。

在含有n个带权叶结点的二叉树中，WPL最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树。

构造哈夫曼树

给定n个权值分别为w1,w2...wnw_1,w_2...w_nw1,w2...wn的结点，构造算法如下：

将n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F；
构造一个新结点，从F中选取两棵根节点权值最小的树作为新节点的左右子树，新结点的权值置为左右子树根节点权值之和；
从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中；
重复步骤2、3，直到F仅剩一棵树。

从构造过程可以看出哈夫曼树具有如下特点：

每个初始结点都称为叶结点，且权值越小的结点到根节点的路径越长。
构造过程新建了n-1个结点，因此哈夫曼树的总结点树为2n-1。
哈夫曼树中不存在度为1的结点。

哈夫曼编码

若允许不同字符用不等长的二进制位表示，称这种编码为可变长度编码。
若任何一个编码都不是其余编码的前缀，则称这种编码为前缀编码。
利用哈夫曼树可以设计出总长度最短的二进制前缀编码。

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