【剑指offer - C++/Java】10、矩形覆盖
在线题目链接:矩形覆盖
文章目录
- 1 题目描述
- 2 题目分析
- 3 代码
- 3.1 递归方法
- 3.11 Java代码
- 3.12 C++代码
- 3.2 动态规划算法
- 3.2 动态规划
- 3.21 Java代码
- 3.22 C++代码
- 3.3 循环方法
- 3.31 Java代码
- 3.32 C++代码
- 4、总结
1 题目描述
我们可以用2*1
的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1
的小矩形无重叠地覆盖一个2*n
的大矩形,总共有多少种方法?
2 题目分析
乍一看感觉无从下手!!!其实如果我们使用归纳方法的话,总能够总结出规律来。
假设下面是一个2*n的大矩形:
我们要使用下面这样的2*1
的小矩形来填满上述的大矩形:
我们假设将2*n
的矩形填满需要f(n)种方法
那么填充的方法可以有下面的两种方法:
- 如下图:
2*1
的矩形竖着放,那么还剩下2*(n-1)
大小的矩形需要填,也就是剩下的矩形还有f(n-1)的方法填满
- 如下图:
2*1
的矩形横着放,那么由于它下面的也只能横这放,所以还剩下2*(n-2)
个矩形,也就是剩下的矩形需要有f(n-2)种方法填满。
很明显,到这里我们就可以列出一个公式:
- f(n)=f(n-1)+f(n-2)
这个公式我们太熟悉了,这就是斐波那契数列,我们看下面三篇文章的算法题都是这个公式的应用:
- 斐波那契数列
- 跳台阶
- 变态跳台阶
综上以及题目要求,我们得出综合公式(n=0时f(n)=0):
由此可以写出三种不同的代码:递归,动态规划,循环
3 代码
3.1 递归方法
递归方法很简单,直接利用公式即可。
3.11 Java代码
public class Solution {public int RectCover(int target) {//递归if(target<3)return target;return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);}
}
3.12 C++代码
class Solution {public:int rectCover(int number) {//递归if(number<3)return number;return rectCover(number-1)+rectCover(number-2);}
};
我们都知道这种递归解法会有很多重复的计算,就像下面的,假设我们要计算f(10):
计算f(10),要重复计算两次f(8),三次f(7),三次f(6),这种重复计算,对于数据比价大的时候,开销是非常大的。所以我们经常说,递归虽然好写,但是不建议在实现算法的时候使用递归算法。
3.2 动态规划算法
3.2 动态规划
凡是能用递归写出的代码,一定能够用动态规划写出来。
我们知道递归是为了求某一个值,而必须先知道另外的几个值后才能求出来。而想要求那另外的几个值,还需要再求另外的另外的值,就像上面的递归二叉树,想要先求f(10),必须知道f(9)和发(8)。想要知道f(9)又得知道f(8)和f(7)…
上面递归是想要计算总体值,需要求局部的值,想要求局部的值,又要求局部的局部的值。
动态规划不是这样,动态规划是先从递归的终止条件开始计算,也就是说,动态规划先计算局部的值,然后根据局部的值的累积,最终得到整体要求的值。也就是与递归反过来了。
比如针对上面的求f(10),我们先求f(1),f(2),f(3)…最终肯定会求得f(10)。这样我们就没有进行重复的计算。每一项都是只计算一次。
看代码就能明白上面说的是什么意思了。下面的ret数组,ret[i]代表斐波那契数组的第i项。我们要求得第n项,最后求到ret[n]直接返回即可。
3.21 Java代码
public class Solution {public int RectCover(int target) {//这同样是斐波那契数列 f(n)=f(n-1)+f(n-2)//动态规划if(target<=2)return target;int[] ret=new int[target+1];ret[1]=1;ret[2]=2;int i;for(i=3;i<=target;i++){ret[i]=ret[i-1]+ret[i-2];}return ret[target];}
}
3.22 C++代码
class Solution {public:int rectCover(int number) {//这同样是斐波那契数列 f(n)=f(n-1)+f(n-2)//动态规划//if(number<=2)return number;int ret[number+1];ret[0]=0;ret[1]=1;ret[2]=2;int i;for(i=3;i<=number;i++){ret[i]=ret[i-1]+ret[i-2];}return ret[number];}
};
3.3 循环方法
所有的递归都可以写成动态规划,同理所有的动态规划,也一定能写成循环。只不过有的动态规划不好写成循环而已。本题是非常好写成循环的。
循环比动态规划好的原因在于,循环只用几个变量,循环使用它们得到最终结果,不保存之前的计算结果,动态规划却需要开辟一个数组,将所有计算过的结果保存,这很浪费空间。
3.31 Java代码
public class Solution {public int RectCover(int target) {//循环if(target<3)return target;int r1=1,r2=2,ret=0;int i;for(i=3;i<=target;i++){ret=r1+r2;r1=r2;r2=ret;}return ret;}
}
当然,上面使用三个变量,我们还可以再减少一个变量,使用两个变量:
public class Solution {public int RectCover(int target) {//循环,更加单的写法if(target<3)return target;int r1=1,r2=2;int i;for(i=3;i<=target;i++){r2+=r1;r1=r2-r1;}return r2;}
}
3.32 C++代码
三个变量
class Solution {public:int rectCover(int number) {//循环if(number<3)return number;int r1=1,r2=2,ret=0;int i;for(i=3;i<=number;i++){ret=r1+r2;r1=r2;r2=ret;}return ret;}
};
两个变量
class Solution {public:int rectCover(int number) {//循环,更加单的写法if(number<3)return number;int r1=1,r2=2;int i;for(i=3;i<=number;i++){r2+=r1;r1=r2-r1;}return r2;}
};
4、总结
注意学会递归,动态规划,循环三者时间的关系
探讨学习加:
个人qq:1126137994
个人微信:liu1126137994
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