信息学奥赛一本通 1272：【例9.16】分组背包
【题目链接】
ybt 1272：【例9.16】分组背包
【题目考点】
1. 动态规划：分组背包
【解题思路】
分组背包问题，特点是：每组中的物品最多可以取一件
1. 状态定义
集合：放入背包的物品方案
限制：物品所在分组的区间，背包大小
属性：价值
条件：最大
统计量：价值
状态定义：
dp[i][j]: 在前i组物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值。
2. 状态转移方程
记第i组物品有m个，这m个物品的编号为i1,i2,…,im。
第i物品的重量是w[i]，价值是c[i]。
集合：在前i组物品中选择物品放入大小为j的背包的所有方案
分割集合：第i组物品如何放入背包
- 如果不选择第i组物品，那么在剩余i-1组中选择物品放入大小为j的背包。
dp[i][j] = dp[i-1][j] - 如果选择第i组物品中的第1个，该物品下标为i1。那么需要在剩余i-1组中选择物品放入大小为
j-w[i1]的背包。dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i1]]+c[i1] - 如果选择第i组物品中的第2个，该物品下标为i2。那么需要在剩余i-1组中选择物品放入大小为
j-w[i2]的背包。dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i2]]+c[i2]
… - 如果选择第i组物品中的第m个，该物品下标为im。那么需要在剩余i-1组中选择物品放入大小为
j-w[im]的背包。dp[i][j] = dp[i-1][j-w[im]]+c[im] - 一般地，如果选择第i组物品中的第k个，该物品下标为x。那么需要在剩余i-1组中选择物品放入大小为
j-w[x]的背包。dp[i][j] = dp[i-1][j-w[x]]+c[x]。遍历第i组物品，求选择该组中每个物品后能得到的最大价值dp[i][j]。 - 以上所有情况求最大值。
3. 复杂度分析
背包容量为V，物品总数量为N，分组数量为T。
分组背包一般解法：
- 时间复杂度： O ( V N ) O(VN) O(VN)
- 空间复杂度： O ( T V ) O(TV) O(TV)
滚动数组优化后：
- 空间复杂度： O ( V ) O(V) O(V)
【题解代码】
解法1：分组背包 一般解法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define V 205
#define N 35
#define T 15
int dp[N][V], w[N], c[N]; //dp[i][j]:在前i组物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值。
vector<int> g[T];//g[i]:存储第i组物品的编号
int main()
{int v, n, t, p;cin >> v >> n >> t;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> w[i] >> c[i] >> p;g[p].push_back(i);//第p组添加i }for(int i = 1; i <= t; ++i)//遍历各组 {for(int j = 0; j <= v; ++j){dp[i][j] = dp[i-1][j];for(int k = 0; k < g[i].size(); ++k){int x = g[i][k];if(w[x] <= j)dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-w[x]]+c[x]);}}}cout << dp[t][v];return 0;
}
解法2：分组背包 滚动数组优化
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define V 205
#define N 35
#define T 15
int dp[V], w[N], c[N]; //dp[i][j]:（第1维被优化掉）在前i组物品中选择物品放入大小为j的背包能获得的最大价值。
vector<int> g[T];//g[i]:存储第i组物品的编号
int main()
{int v, n, t, p;cin >> v >> n >> t;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> w[i] >> c[i] >> p;g[p].push_back(i);//第p组添加i }for(int i = 1; i <= t; ++i)//遍历各组 {for(int j = v; j >= 0; --j){for(int k = 0; k < g[i].size(); ++k){int x = g[i][k];if(j >= w[x])dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[x]]+c[x]);}}}cout << dp[v];return 0;
}
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