欧氏距离和马氏距离简介

By:Yang Liu
1.欧氏距离
在数学中，欧几里得距离或欧几里得度量是欧几里得空间中两点间“普通”（即直线）距离。欧几里得度量（euclidean metric）（也称欧氏距离）是一个通常采用的距离定义，指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
计算公式：D(X,Y)=(X1−Y1)2+(X2−Y2)2...+(Xn−1−Yn−1)2+(Xn−Yn)2D(X,Y) = \sqrt {{{({X_1} - {Y_1})}^2} + {{({X_2} - {Y_2})}^2}... + {{({X_{n - 1}} - {Y_{n - 1}})}^2} + {{({X_n} - {Y_n})}^2}}D(X,Y)=(X1−Y1)2+(X2−Y2)2...+(Xn−1−Yn−1)2+(Xn−Yn)2 。
Matlab计算距离使用pdist函数。若X是一个m×n的矩阵，则pdist(X)将X矩阵每一行作为一个n维行向量，然后计算这m个向量两两间的距离。

缺点：欧式距离将样品的不同属性（即各指标或各变量）之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
2.马氏距离
马氏距离(Mahalanobis distance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示点与一个分布之间的距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系。并且是与尺度无关的。可以看作是欧氏距离的一种修正，修正了欧式距离中各个维度尺度不一致且相关的问题。
计算公式：D(X)=(X−μ)TS−1(X−μ)D(X) = \sqrt {{{(X - \mu )}^T}{S^{ - 1}}(X - \mu )}D(X)=(X−μ)TS−1(X−μ)
X表示样本向量，S表示协方差矩阵，u表示样本均值。
不同样本的马氏距离：D(X,Y)=(X−Y)TS−1(X−Y)D(X,Y) = \sqrt {{{(X - Y)}^T}{S^{ - 1}}(X - Y)}D(X,Y)=(X−Y)TS−1(X−Y)
若协方差矩阵S是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布），则X与Y之间的马氏距离等于他们的欧氏距离。如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
Matlab计算马氏距离：

马氏距离的特点：
（1）量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰；
（2）马氏距离的计算是建立在总体样本的基础上的，如果拿同样的两个样本，放入两个不同的总体中，最后计算得出的两个样本间的马氏距离通常是不相同的，除非这两个总体的协方差矩阵碰巧相同；
（3）计算马氏距离过程中，要求总体样本数大于样本的维数，否则得到的总体样本协方差矩阵逆矩阵不存在，这种情况下，用欧式距离计算即可。
马氏距离的优点：马氏距离不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离的缺点：夸大了变化微小的变量的作用；马氏距离的计算是不稳定的，不稳定的来源是协方差矩阵。

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