欧拉方法的一点理解（基本原理，推导公式）

本文只是作者的一点点理解，初衷是让小白看懂数学，去理解，而不是刻板的记公式，纯手敲，希望多多关注，大佬可以指点，但别喷我。

本文的前提是常微分方程，很多地方我就不过多的讲解前提条件了，读者只要知道，一切的基础都是在常微分方程初值问题的表达式上进行的推导。

基本原理及推导：

欧拉方法作为一种数值解法，首先我们要明确这是一种获取近似解的方法，存在误差。

思路：利用差商代替微分的思想，在几何上看是用折线近似等于曲线的思想

那么什么是差商？什么是微分？

微分，我想学到这部分，多少了解了，它的定义式如下：

$y' = \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}= \frac{y(x+x_{\xi }) - y}{(x+x_{\xi })-x}$

其中 $x_{\xi }\rightarrow 0$

我的理解的话，微分可以理解为某一个瞬间的状态，或者在平面图上，某一条线上每个x值对应的y值，即点是线的微分元素；在上面欧拉方法的解析式中，你可以理解步长h它就是一个微分元素，当步长趋近于0的时候，就是等价于微分方程了。

差商，顾名思义，它就是差的商，是谁的差？同变量不同状态的差。是谁的商？因果的商，因变量和自变量的商。故有如下定义式

$\Delta = \frac{y_{n+1}-y_{n}}{x_{n+1}-x_{n}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

这样看，好像没有关联，那我们再给它换一件衣服看看，你会不会觉得妙呢？？看下面

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{(x-\Delta x)-x}$

当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，我们可以看到上式与前面微分是等价的，但是这理论上的手段，显示中我们计算差商是不可能让步长，哦不，不可能让 $\Delta x$ 趋向于0的，因为你手动计算不出来。所以这就是我们说用差商近似等于微分的缘由，可想而知误差也就来了。

还要注意的一点是：欧拉方法原则上是等步长的递推方法，由初值条件可以推导出每一个 $x_{i}$ 所对应的y值，广泛应用于宏观上的预测模型，我为什么说是宏观等你们学到其他的数值解法你就会明白了。

截断误差计算：

这里其实我是不打算讲的，因为使用matlab进行计算的话，是用不到误差计算的推导公式的，MATLAB计算误差简单粗暴，直接使用精确解减去近似解的绝对值。下一期我出一个MATLAB编写欧拉算法的文章，绝对是教父级教程。

回到正题，理论知识还是得学啊，误差计算的推导公式比较简单，使用泰勒展开式把欧拉方法表达式的左边进行展开，然后合并同类项。

欧拉方法表达式： $y_{n+1} = y_{n} + h*f(y_{n},x{_{n}})$

泰勒展开式在 $x=x_{n}$ 处展开： $y(x_{n+1})=y_{n}+(x_{n+1}-x_{n})*y'(x_{n})+o(x)$

因为y' = f(y,x)，所以有

截断误差： $\left | y_{n+1} -y(x_{n+1})\right | = o(x)$

由截断误差将欧拉方法收敛阶定义为一阶，这里不懂可以去看看相关的定义

结语：

本文是我第一次尝试着解析数学的知识，如果反响好，会继续出，欧拉方法除了上面的内容，其实还有很多我没有深入去展开，比如稳定性、单步法、收敛阶、以及隐式欧拉方法，感兴趣的同学可以自己去了解，或者有需要可以评论。