虚数与欧拉恒等式e^ix=cosx+isinx

虚数i=√-1是一个不属于实数的数。在高中时，我们就知道复数加法与乘法的几何意义（即向量相加与旋转拉长）。当然，它还有更多的应用，如欧拉恒等式e^ix=cosx+isinx(可以简单地用泰勒展开经行证明)，就给了一个使用虚数的很好方式。

e^ix=cosx+isinx显然有如下推论：

证明很简单，由e^i(α+β)=(e^iα)(e^iβ)即可证明。

另一种用法是表示三角函数，考虑诱导公式

有cosx= 1/2(e^ix+e^-ix),sinx=1/(2i)(e^ix-e^-ix)，从这里看出三角函数有着与双曲三角函数有着类似的表达方式。利用这个表达式，可以证明下面的定理

证明如下：先令

有

而其中

。故

最后一个等号是因为诸η^(-k)是方程x^n -1=0除1之外所有根，而x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+……+x+1),即得。

显然，有推论,当n是奇数时，有

虚数还可以用来解不定方程，下面是两道所需知识不多但需要思考的题。

1.x^2+9409=y^3的所有整数解（用虚数）

2.13x+1=7^n中x最小的整数解（不用虚数）

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