讲清楚进制转换、进制计算那些事

信息在计算机中的表示
- 1.易于物理实现
- 2.可靠性高
- 3.运算规则简单
数制及其不同进制之间的转换
- 1.常用进制数及其对应关系
- - 表 1-2 常见进制数所使用的基本符号
  - 表 1-3 二进制数与八进制数的对应关系表
  - 表 1-4 二进制数与十六进制数的对应关系
- 2.不同进制数之间的相互转换
- - 1.任意进制数转换成十进制数
  - 2.十进制数转换成任意进制数
  - 3.二进制、八进制、十六进制数之间的相互转换
数值信息在计算机中的表示及运算
- 1.带符号数在计算机中的表示
- 2.无符号数在计算机中的表示
- 3.二进制数的算术运算
- - (1)无符号二进制数的算术运算
  - - a.加法运算
    - b. 减法运算
  - (2)带符号二进制数的算术运算
  - - ① 带符号二进制数加法和减法的运算规则
    - ②溢出问题
- 4．二进制数的逻辑运算
- - (1)逻辑与运算
  - (2)逻辑或运算
  - (3)逻辑非运算
  - (4)逻辑异或运算

信息在计算机中的表示

信息是计算机所处理的对象，包括数值信息和非数值信息。数值信息包括带符号数和不带符号数，非数值信息包括字符、汉字、图形、声音、视频等无数值大小和正负特征的信息。计算机要处理的信息存储在存储器中，而存储器由具有两种稳定状态的物理器件组成，因而各种信息都是采用二进制进行编码的。这主要是因为采用二进制编码有以下优点。

1.易于物理实现

具有两个稳定状态的物理器件很多，如电路的导通与截止，电压的高与低。这两种状态可以分别对应二进制的1和0两个符号，而十进制需要具有10种稳定状态的物理电路，实现起来比较困难。

2.可靠性高

电压的高低、电流的有无都是一种质的变化，两种状态分明，抗于扰能力强。

3.运算规则简单

数学推导已经证明; 对R进制数进行算术求和或求积运算，其运算规则各有 R(R＋1)/2 种。如采用十进制，就有55种求和与求积的运算规则，而二进制仅各有三种，因而简化了运算器等物理器件的设计。
虽然计算机内部采用二进制表示各种信息，然而在日常生活中人们习惯于使用十进制数。为了方便用户的使用，计算机内部数值的输入和输出通常采用十进制方式。为此，计算机内部需要具备一个进制转换机制，用于将用户输入的十进制数转换成二进制数存储到存储器中，而输出数据时通常需要将二进制数转换成人们所熟悉的十进制形式进行输出。有时为了数据表示的方便，也采用八进制或十六进制。下面详细介绍计算机中常用的数制及其转换方法。

数制及其不同进制之间的转换

1.常用进制数及其对应关系

人们在日常生活中，广泛使用十进制计数方法进行计数。众所周知，十进制计数法的计数法则是∶逢10进 1，借1当10。在计算机内部，综合考虑易于物理实现难易程度、运算规则难易程度以及可靠性等诸多因素，信息采用二进制编码形式。二进制计数法的计数法则是∶ 逢2进1，借1当2。计算机所处理的所有数据都必须用二进制编码来表示，即用 0 和1两个基本符号来进行编码表示。例如十进制的 0～9 对应的二进制数分别为0，1，10，11， 100，101，110，111，1000，1001。由此可见，二进制数既冗长又难记，尤其当表示较大的数字时更是如此，为了便于书写和记忆，在与计算机打交道的过程中我们还会经常使用八进制、十进制和十六进制数。在书写时为了区分不同的进制数，通常采用不同的下标加以区分，如二进制数 1010 表示为（1010）2，有时也用字母 B，O，D 和 H分别表示二进制、八进制、十进制和十六进制数。
进位计数制的两个重要概念是"基数"和"权"。所谓"基数"是指进位计数制中所需要的基本符号的个数。十进制使用的基本符号是 0～9，10 个数，因此十进制的基数为 10，由此 R进制的基数则为R。所谓"权"是指某进制数各个位的单位值。对于 R 进制数，其整数部分的权值从小数点向左依次为 R 0 , R 1 , R 2 , R ° , … R^0,R^1,R^2,R°,… R0,R1,R2,R°,…，小数部分的权值从小数点向右依次为 R − 1 , R − 2 , R − 3 , R − 4 , … R^{-1}, R^{-2},R^{-3},R^{-4},… R−1,R−2,R−3,R−4,…
每种进制数所使用的基本符号如表1-2 所示。二进制、八进制和十六进制数的对应关系如表 1-3 和表 1-4 所示。

表 1-2 常见进制数所使用的基本符号

进位制	基本符号	进位规则	表示符
二进制	0,1	逢 2 进 1，借 1 当 2	B
八进制	0,1,2,3,4,5,6,7	逢 8 进 1，借 1 当 8	O
十进制	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	逢10进 1，借 1 当 10	D
十六进制	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F	逢16进 1，借 1 当 16	H

表 1-3 二进制数与八进制数的对应关系表

二进制	八进制	二进制	八进制
000	0	100	4
001	1	101	5
010	2	110	6
011	3	111	7

表 1-4 二进制数与十六进制数的对应关系

二进制	十六进制	二进制	十六进制
0000	0	1000	8
0001	1	1001	9
0010	2	1010	A
0011	3	1011	B
0100	4	1100	C
0101	5	1101	D
0110	6	1110	E
0111	7	1111	F

2.不同进制数之间的相互转换

1.任意进制数转换成十进制数

任意进制数转换成十进制数的基本方法是"按权展开法"。
十进制是人们日常生活中最常用的数制，任意一个十进制数 D 均可以被按权展开成下式。
( D ) 10 = D n × 1 0 n + D n − 1 × 1 0 n − 1 + . . . + D 1 × 1 0 1 + D 0 × 1 + D − 1 × 1 0 − 1 + D − 2 × 1 0 − 2 + . . . + D − m × 1 0 − m = ∑ i = − m n D i × 1 0 i ( n , m 为正整数 ) (D)_{10} = D_n \times 10^n + D_{n-1} \times 10^{n-1}+...+D_1 \times 10^1+D_0 \times 1+D_{-1} \times 10^{-1}+D_{-2} \times 10^{-2}+...+D_{-m} \times 10^{-m} = \sum_{i=-m}^n D_i \times 10^i (n,m为正整数) (D)10=Dn×10n+Dn−1×10n−1+...+D1×101+D0×1+D−1×10−1+D−2×10−2+...+D−m×10−m=i=−m∑nDi×10i(n,m为正整数)
其中 ( D ) 10 (D)_{10} (D)10中的脚标10表示十进制数，这个数共有 n + m + 1 n+m+1 n+m+1位，其中整数位是 n + 1 n+1 n+1位，小数位是 m m m位。 D i D_i Di表示D的第i位的值，是0～9,10个基本符号中的一个。需要注意的是，整数部分的最低位为第 0 位。 1 0 i 10^i 10i表示十进制第 i 位的权值，其中10为基数。

例1.1 将十进制数 1048 按权展开:
解： ( 1048 ) 10 = 1 × 1 0 3 ＋ 0 × 1 0 2 ＋ 4 × 1 0 1 ＋ 8 × 1 0 0 (1048)_{10} = 1×10^3＋0×10^2＋4×10^1＋8×10^0 (1048)10=1×103＋0×102＋4×101＋8×100
使用按权展开的方法可以将任意进制数转换成十进制数。对于R进制数A，其按权展开式为
( A ) R = A n × R n + A n − 1 × R n − 1 ＋ … ＋ A 1 × R 1 ＋ A 0 × R 0 ＋ A − 1 × R − 1 + A − 2 × R − 2 + A − m × R − m = ∑ i = − m n A i × R i ( n , m 为正整数 ) (A)_R= A_n \times R^n + A_{n-1} \times R^{n-1} ＋…＋ A_1×R^1＋A_0 \times R^0＋A_{-1} ×R^{-1}+A_{-2} \times R^{-2}+A_{-m} \times R^{-m} =\sum_{i=-m}^n A_i \times R^i (n,m为正整数) (A)R=An×Rn+An−1×Rn−1＋…＋A1×R1＋A0×R0＋A−1×R−1+A−2×R−2+A−m×R−m=i=−m∑nAi×Ri(n,m为正整数)

例1.2 将二进制数 1011010.011 转换成相应的十进制数:
解：
( 1011010.011 ) 2 = 1 × 2 6 ＋ 0 × 2 5 ＋ 1 × 2 4 ＋ 1 × 2 3 ＋ 0 × 2 2 ＋ 1 × 2 1 ＋ 0 × 2 0 + 0 × 2 − 1 + 1 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 = 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 0 + 0 + 0.25 + 0.125 = ( 90.375 ) 10 (1011010.011)_2=1 \times 2^6＋0 \times 2^5＋1 \times 2^4＋1 \times 2^3＋0 \times 2^2＋1 \times 2^1＋0 \times 2^0+0 \times2^{-1} + 1 \times 2^{-2}+1 \times 2^{-3}=64 + 0 + 16 + 8 +0 + 2 + 0+0+0.25+0.125=(90.375)_{10} (1011010.011)2=1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20+0×2−1+1×2−2+1×2−3=64+0+16+8+0+2+0+0+0.25+0.125=(90.375)10
例1.3 将十六进制数 2D.5转换成相应的十进制数:
解:
( 2 D . 5 ) 16 = 2 × 1 6 1 + 13 × 1 6 0 + 5 × 1 6 − 1 = 32 + 13 + 0.3125 = ( 45.3125 ) 10 (2D.5)_{16} = 2 \times 16^1 + 13 \times 16^0 + 5 \times 16^{-1} = 32 + 13 + 0.3125 = (45.3125)_{10} (2D.5)16=2×161+13×160+5×16−1=32+13+0.3125=(45.3125)10

2.十进制数转换成任意进制数

十进制数转换成任意进制数时，需要将整数部分和小数部分分别进行转换，然后再拼接起来。整数部分采用"除 R 取余法"，小数部分采用"乘 R 取整法"。
除 R 取余法即十进制的整数部分连续地除以R，直到商为0 为止，分别取其余数部分，并按照从低位到高位进行排列（从下往上），其结果即为转换后的 R进制整数部分。
乘 R 取整法即十进制的小数部分连续地乘以R，直到小数部分为 0或取到有效位数为止，因为小数部分可能永不为0。分别取其整数部分，并按照从高位到低位进行排列（从上往下），其结果即为转换后的 R 进制小数部分。

例1.4 将十进制数 97.125 转换成二进制数:

3.二进制、八进制、十六进制数之间的相互转换

二进制数转换成八进制数或十六进制数的基本方法是∶将二进制数以小数点为中心划分位组，转换成八进制数时三位一组，转换成十六进制数时四位一组，两头不够时可以补零。
八进制数或十六进制数转换成二进制数的基本方法是∶将每一位八进制数或十六进制数转换成相应的二进制数，每位八进制数相当于三位二进制数，每位十六进制数相当于四位二进制数。整数部分高位的零和小数部分低位的零可以省略，需要注意的是小数点两侧的零不能省略掉。
八进制和十六进制之间的转换通常要以二进制为中介。

例1.5 将二进制数 1100101011.01 分别转换成八进制数和十六进制数。

例1.6 将八进制数 276 转换成二进制数:

例1.7 将十六进制数 3D5.4A转换成二进制数:

数值信息在计算机中的表示及运算

1.带符号数在计算机中的表示

在日常生活中，人们用正数、负数来表示数，使用这种方式表示的数被称为"真值"。在计算机内部，由于信息的数字化，要求对数值连同其符号进行统一的二进制编码，这种连同符号编码后的数被称为"机器数"。常用的机器数表示方法有原码、反码和补码等。它们都是由符号位和数值部分组成的，最高位被用来作为符号位，0表示正号，1 表示负号。对于正数的表示方法都是一样的，负数的表示则各不相同。
（1）原码表示法
原码表示法的规则为：数的最高位为符号位，符号位为0表示正数，为 1 表示负数。数值部分则是该数绝对值的二进制表示。
（2）反码表示法
反码表示法的规则为∶ 数的最高位为符号位，正数的表示方法同原码。负数的符号位为 1，数值部分通过该数原码表示的数值部分各位取反获得。
（3）补码表示法
补码表示法的规则为∶ 数的最高位为符号位，正数的表示方法同原码。负数的符号位为 1，数值部分通过该数原码表示的数值部分各位取反再加 1获得，即 [ x ] 补 = [ x ] 反＋ 1 [x]_补 = [x]_反＋1 [x]补=[x]反＋1。

例1.8 将十进制真值 x ( ＋ 127 , − 127 , + 1 , − 1 , + 0 , − 0 ) x(＋127 , -127 , +1 , -1 , +0 , -0) x(＋127,−127,+1,−1,+0,−0) 分别表示为8位的原码、反码和补码值。
解：

十进制真值 x	二进制真值 x	x 的原码表示	x 的反码表示	x 的补码表示
+127	+01111111	01111111	01111111	01111111
-127	-01111111	11111111	10000000	10000001
+1	+00000001	00000001	00000001	00000001
-1	-00000001	10000001	11111110	11111111
+0	+00000000	00000000	00000000	00000000
-0	-00000000	10000000	11111111	00000000

对于补码表示的二进制数如何转换成十进制数呢?对于补码表示的二进制数如果其符号位为0，表示这是一个正数，这时它的补码表示和原码表示一致，其真值就是它的数值部分。对于补码表示的二进制数如果其符号位为 1，表示这是一个负数，其真值是对此补码数的数值部分再求一次补，即对此补码数的数值部分进行各位取反再加 1，得到的结果就是该数的真值。
例1.9 已知 [ x ] 补 [x]_补 [x]补 = ( 01001101 ) 2 (01001101)_2 (01001101)2，求 x 的真值:
解: 由于 x 补码的符号位为 0，所以它是一个正数，其数值部分就是它的真值。即
x = + ( 1001101 ) 2 = ( ＋ 77 ) 10 x = +(1001101)_2=(＋77)_{10} x=+(1001101)2=(＋77)10
例1.10 已知 [ x ] 补 [x]_补 [x]补 = ( 10110001 ) 2 (10110001)_2 (10110001)2，求 x 的真值。
解: 由于x补码的符号位为1，所以它是一个负数，对其数值部分再求一次补，就可以得到它的真值。即
x = − [ 0110001 ) ] 补 = − ( 1001111 ) 2 = ( − 79 ) 10 x = -[0110001)]_补=-(1001111)_2= (- 79)_{10} x=−[0110001)]补=−(1001111)2=(−79)10

2.无符号数在计算机中的表示

对于带符号数，由于使用最高位作为符号位，因此 n 位带符号数可表示的最大值是 2 n − 1 − 1 2^{n-1}-1 2n−1−1。而实际生活中，有些数据是不可能出现负值的，如年龄、物品的个数、距离、面积等，这些数我们称之为无符号数。对于无符号数，最高位不再作为符号位，而作为真值的一部分，从而可以增大无符号数的表示范围，如n位无符号数可表示的最大值为 2 n − 1 2^{n}-1 2n−1。无符号数在计算机中的表示就是该值的二进制表示。
例1.11 写出无符号十进制数 100，192，300 在计算机中的 8 位表示。
解: 由于8 位无符号数可表示的最大值是 255, 300 超出了8 位无符号数所表示的范围，因此不能正确表示。
将 100 按照 除 2 取余 法转换成二进制数 ( 1100100 ) 2 (1100100)_2 (1100100)2。因此无符号数 100 在计算机中的 8 位表示为 ( 01100100 ) 2 (01100100)_2 (01100100)2。
将 192 按照 除 2 取余 法转换成二进制数 ( 1100000 ) 2 (1100000)_2 (1100000)2。因此无符号数 192 在计算机中的 8 位表示为 ( 1100000 ) 2 (1100000)_2 (1100000)2。

3.二进制数的算术运算

二进制数只包含 0 和 1 两个基本符号，在二进制加法和减法运算中采用的基本规则就是逢 2 进 1，借 1 当 2。补码的引入解决了将减法运算转换为加法运算的问题。

(1)无符号二进制数的算术运算

a.加法运算

二进制数加法运算的规则是: 0 ＋ 0 = 0 , 0 ＋ 1 = 1 , 1 ＋ 0 = 1 , 1 ＋ 1 = 0 ( 有进位 ) 0＋0=0 , 0＋1=1 , 1＋0=1 , 1＋1=0 (有进位) 0＋0=0,0＋1=1,1＋0=1,1＋1=0(有进位)。

例1.12 使用二进制的加法规则计算 ( 10110100 ) 2 ＋ ( 00101101 ) 2 (10110100)_2＋(00101101)_2 (10110100)2＋(00101101)2:

b. 减法运算

二进制数减法运算的规则是: 0 − 0 = 0 , 1 − 0 = 1 , 1 − 1 = 0 , 0 − 1 = 1 ( 有借位 ) 0-0=0,1 - 0=1,1 - 1=0,0 - 1=1(有借位) 0−0=0,1−0=1,1−1=0,0−1=1(有借位)。

例1.13 使用二进制的减法规则计算 ( 11000101 ) 2 — ( 01101011 ) 2 (11000101)_2—(01101011)_2 (11000101)2—(01101011)2。

(2)带符号二进制数的算术运算

在微型计算机中，带符号数都是用补码表示，因此运算结果也用补码表示，从而可以将减法运算转换成加法运算，不必为减法再专门设置一个减法器，从而节省了设备资源。

① 带符号二进制数加法和减法的运算规则

补码加法的规则是∶ 补码的和等于和的补码，即

[ x ] 补 + [ y ] 补 = [ x ＋ y ] 补 [x]_补+[y]_补 =[x ＋ y]_补 [x]补+[y]补=[x＋y]补

补码减法的规则是∶补码的差等于差的补码，也等于第一个数的补码与第二个数的负数的补码之和，即
[ x ] 补 − [ y ] 补 = [ x 一 y ] 补 = [ x ] 补 + [ − y ] 补 [x]_补-[y]_补 = [x一y]_补 = [x]_补+[-y]_补 [x]补−[y]补=[x一y]补=[x]补+[−y]补
[ − y ] 补 [-y]_补 [−y]补可以通过对 [ y ] [y] [y];包括符号位在内的每一位取反加1求得，也可以直接对 − y -y −y求补码，两种方法求得的结果是一样的。

例1.14 x= +73, y= +12,求 [ x + y ] 补 [x+y]_补 [x+y]补:
解法1
[ x ] 补 = ( 01001001 ) 2 [x]_补= (01001001)_2 [x]补=(01001001)2
[ y ] 补 = ( 00001100 ) 2 [y]_补= (00001100)_2 [y]补=(00001100)2
[ x ] 补 + [ y ] 补 = ( 01001001 ) 2 + ( 00001100 ) 2 = ( 01010101 ) 2 [x]_补+[y]_补=(01001001)_2+(00001100)_2=(01010101)_2 [x]补+[y]补=(01001001)2+(00001100)2=(01010101)2
因此 [ x ＋ y ] 补 = ( 01010101 ) 2 [x＋y]_补 =(01010101)_2 [x＋y]补=(01010101)2
解法2
x + y = 73 ＋ 12 = 85 ，因此 [ x + y ] 补 = ( 01010101 ) 2 x+y=73＋12=85，因此 [x+y]_补=(01010101)_2 x+y=73＋12=85，因此[x+y]补=(01010101)2

例1.15 x=+69，y=＋23，求 [ x 一 y ] 补 [x一y]_补 [x一y]补。
解法1
[ x ] 补 = ( 01000101 ) 2 [x]_补 = (01000101)_2 [x]补=(01000101)2
[ y ] 补 = ( 00010111 ) 2 [y]_补 = (00010111)_2 [y]补=(00010111)2
[ x ] 补 − [ y ] 补 = ( 01000101 ) 2 − ( 00010111 ) 2 = ( 00101110 ) 2 [x]_补-[y]_补 = (01000101)_2 - (00010111)_2 = (00101110)_2 [x]补−[y]补=(01000101)2−(00010111)2=(00101110)2
因此 [ x − y ] 补 = ( 00101110 ) 2 [x-y]_补 = (00101110)_2 [x−y]补=(00101110)2
在字长为 8 位的机器中，8 位以上的进位将自然丢失。因此上例中两种求解方法的结果是相同的。

②溢出问题

数的表示范围
对于 n 位无符号的二进制数，其表示范围是 0 ～ 2 n 一 1 0～2^n一1 0～2n一1。对于 n 位带符号的二进制数，其补码的表示范围是 − 2 n − 1 ～ 2 n − 1 一 1 -2^{n-1} ～2^{n-1} 一1 −2n−1～2n−1一1。
对于8位无符号的二进制数，其表示范围是 0000000B～1111111B，即 0～255。对于 8 位带符号的二进制数，其补码的表示范围是 10000000B～01111111B，即-128～＋127。
溢出的概念
在运算过程中，如果运算结果出现不在数的表示范围之内的现象，就称为"溢出"。当运算结果大于机器所能表示的最大值时，称为"上溢";当运算结果小于机器所能表示的最小值时，称为"下溢"。

4．二进制数的逻辑运算

逻辑运算与算术运算不同之处在于逻辑运算是对二进制数进行按位操作，因而不会出现进位和借位。基本的逻辑运算包括与、或、非和异或四种运算。

(1)逻辑与运算

与运算的基本规则是按位相与，运算符号为"入"或"·"，在书写逻辑表达式的时候，与运算的运算符有时可以省略。其运算规则为
1 ∧ 1 = 1 ， 1 ∧ 0 = 0 ， 0 ∧ 1 = 0 ， 0 ∧ 0 = 0 1\land1=1，1\land0=0，0\land1=0，0 \land0=0 1∧1=1，1∧0=0，0∧1=0，0∧0=0
与运算的逻辑运算规则与二进制乘法的运算规则相同，因此与运算也被称做"逻辑乘"。即仅当参加与运算的两位都为1时，运算结果才为1;只要有一位为 0，运算结果就为0。
例1.16 计算 ( 10101101 ) 2 ∧ ( 11101011 ) (10101101)_2 \land(11101011) (10101101)2∧(11101011)

(2)逻辑或运算

或运算也被称做"逻辑加"，或运算的基本规则是按位相或。其运算符号为"V"或"＋"。其运算规则为
1 ∨ 1 = 1 , 1 ∨ 0 = 1 , 0 ∨ 1 = 1 , 0 ∨ 0 = 0 1\lor1=1,1\lor0=1,0\lor1=1,0\lor0=0 1∨1=1,1∨0=1,0∨1=1,0∨0=0
即仅当参加或运算的两位都为 0 时，运算结果才为 0;只要有一位为 1，运算结果就为 1。

例1.17 计算$(10110010)_2(11011001)_2

(3)逻辑非运算

非运算的基本规则是按位取反。非运算属于单目运算，即只有一个运算对象，运算符号为一上横线 ( x ˉ ) (\bar x) (xˉ)，其运算规则为 1 ˉ = 0 , 0 ˉ = 1 \bar1=0,\bar0=1 1ˉ=0,0ˉ=1

例1.18 已知 x = ( 10111010 ) 2 x=(10111010)_2 x=(10111010)2，求 x ˉ \bar x xˉ:
x ˉ = 1011101 0 2 ‾ = ( 01000101 ) 2 \bar x= \overline{10111010_2} =(01000101)_2 xˉ=101110102=(01000101)2

(4)逻辑异或运算

异或运算的基本规则是按位相加，但不产生进位。异或运算的运算符为"④"。其运算规则为: 1 ⊕ 1 = 0 , 1 ⊕ 0 = 1 , 0 ⊕ 1 = 1 , 0 ⊕ 0 = 0 1 \oplus1=0,1 \oplus0=1,0 \oplus1=1,0 \oplus0=0 1⊕1=0,1⊕0=1,0⊕1=1,0⊕0=0，即参加异或运算的两位不相同时，结果为 1;两位相同时，结果为 0。
例1.19 计算 ( 10001101 ) 2 ⊕ ( 10111011 ) 2 (10001101)_2 \oplus(10111011)_2 (10001101)2⊕(10111011)2

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