概念

KNN matting提出了基于KNN的拉普拉斯矩阵计算方法，通过KNN构建邻接矩阵，进而得到度矩阵和拉普拉斯矩阵，带入α\alpha的求解方程中。

抠图

抠图技术，把图像中一部分从其他部分分开出来。将图像分为两层，分出来那层成为前景层，图像中的其他部分称为背景层。
图像中每一点都是由前景颜色和背景颜色组合而成，其中前景颜色所占的比重称为alpha因子。颜色组合方程：

I=αF+(1−α)B

I=\alpha F+(1-\alpha)B
I, F, B分别表示图像上一点的合成色、前景色、背景色， α\alpha是该点的alpha值。
仅仅知道I的情况下，求解alpha，F，B，这是一个约束不足（under-constrained）问题。
文中通过假设在很小的窗口内F和B为恒定值，进而将该问题归结为求下面的约束问题(论文中提取的定理)

α=argminα′Lαs.t. α(i)=S(i)

\alpha = \arg \min \alpha 'L\alpha \\\\ s.t. \ \alpha(i)=S(i)

其中SS是手工标记的区域，S(i)S(i)是S中的像素值。用下面这个公式来求解：

(L+λD)∑inαi=λm

(L+\lambda D)\sum\limits_{i}^{n}\alpha_i=\lambda m
K近邻抠图的主要贡献在于提出了基于KNN的拉普拉斯矩阵计算方法。
1. 特征向量计算
给定像素i的特征向量定义如下：

X(i)=(cos(h),sin(h),s,v,x,y)

X(i)=(cos(h),sin(h),s,v,x,y)
其中h，s，v分别是HSV颜色空间的坐标值，(x,y)是像素i的空间坐标。
2. 内核函数计算
定义内核函数：

k(i,j)=1−∥X(i)−X(j)∥C

k(i,j)=1-\frac{\left\| X(i)-X(j) \right\|}{C}
C是权值调节系数，保证 k(i,j)∈[0,1]k(i,j) \in [0,1], ||·||是1范数，即两向量差的绝对值之和。
求拉普拉斯矩阵：

L=D−A

L=D-A
其中相似矩阵 Aij=k(i,j)A_{ij}=k(i,j),对角矩阵 Dii=∑jAijD_{ii}=\sum\limits_{j}{A_{ij}}
K近邻抠图给出了一种适合任何颜色任何维度的特征空间算法。利用Nonlocal抠图的非局部原理，通过使用K个最近邻像素来匹配非局部区域，并且提供了一个简单快速的算法来产生更高质量抠图结果，进一步利用语出共轭梯度法求解封闭形式解。

非局部原理

非局部原理的工作假设是，一个去噪像素i是由与它类似特征的像素与一个内核函数k(i,j)权重的加权和：

E[X(i)]≈∑jX(j)k(i,j)1Dik(i,j)=exp(−1h2∥X(i)−X(j)∥2g−1h2d2ij)Di=∑jk(i,j)

\begin{array}{l} E[X(i)] \approx \sum\limits_j {X(j)k(i,j)\frac{1}{{{D_i}}}} \\ k(i,j) = \exp ( - \frac{1}{{{h^2}}}\left\| {X(i) - X(j)} \right\|_g^2 - \frac{1}{{{h^2}}}d_{ij}^2)\\ {D_i} = \sum\limits_j {k(i,j)} \end{array}
其中 $X(i)$ 是像素i的特征向量， $d_{ij}$ 是像素i到j的距离，||·||是一个高斯范数，，h1和h2是常量。类似的得到 $\alpha$ 的预期值如下：

E[αi]≈∑jαjk(i,j)1DiorDiαi≈k(i,j)Tα

E[{\alpha _i}] \approx \sum\limits_j {{\alpha _j}k(i,j)\frac{1}{{{D_i}}}or{D_i}{\alpha _i} \approx } k{(i,j)^T}\alpha
其中α是由所有输入图像的α值组成的向量。
根据非局部原理，当条件分布 E[αi|X(i)=X(j)]=αjE[{\alpha _i}|X(i) = X(j)] = {\alpha _j}成立时，意味着有相同特征的像素将共享同样的α值。
因此，有 Dα≈AαD\alpha \approx A\alpha, L=D−AL=D-A称为集群拉普拉斯算子，基本上解决了二次最小化问题 minα∑Aij(αi−αj)2min_\alpha \sum{A_{ij}(\alpha_i-\alpha_j)^2}.

步骤

特征向量计算
给定像素i的特征向量定义如下：

X(i)=(cos(h),sin(h),s,v,x,y)

X(i)=(cos(h),sin(h),s,v,x,y)
其中h，s，v分别是HSV颜色空间的坐标值，(x,y)是像素i的空间坐标。
内核函数计算
定义内核函数：

k(i,j)=1−∥X(i)−X(j)∥C

k(i,j)=1-\frac{\left\| X(i)-X(j) \right\|}{C}
C是权值调节系数，保证k(i,j)∈[0,1]k(i,j) \in [0,1],||·||是1范数，即两向量差的绝对值之和。
求拉普拉斯矩阵：

L=D−A

L=D-A
其中相似矩阵Aij=k(i,j)A_{ij}=k(i,j),对角矩阵Dii=∑jAijD_{ii}=\sum\limits_{j}{A_{ij}}
闭合形式解
加入用户约束信息，封闭形式解的方程：

(L+λD)∑inαi=λm

(L+\lambda D)\sum\limits_{i}^{n}\alpha_i=\lambda m
其中λ\lambda是约束系数，m<script type="math/tex" id="MathJax-Element-26">m</script>是向量，用户对已知像素区域的标记

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