现代通信原理A.2：FIR低通滤波器设计

本文我们学习低通滤波器的设计。

1、问题描述

现在考虑我们有信号m(t)=Rect(t−τ/2τ)m(t)={\rm Rect}(\frac{t-{\tau}/{2}}{\tau})m(t)=Rect(τt−τ/2)为矩形脉冲，波形如下

m(t)m(t)m(t)的傅立叶变换为M(f)=τSa(πfτ)e−jπfτM(f)=\tau{\rm Sa}(\pi f \tau)e^{-j\pi f\tau}M(f)=τSa(πfτ)e−jπfτ，其幅频特性如下图所示。

显然，其带宽是无穷大，第一过零点带宽为10Hz。现在我们想要设计一个低通滤波器，截止频率为10Hz。看看上面的矩形脉冲信号通过这样的滤波器之后，波形和频谱会有什么样的变化。设滤波器输出信号为s(t)s(t)s(t)，系统模型如下图(a)所示。
我们希望设计的滤波器，应该是理想低通滤波器，其频率传递函数H(f)=Rect(f2fH)H(f)={\rm Rect}\Large( \frac{f}{2f_H}\Large)H(f)=Rect(2fHf)，这里的滤波器上截止频率为fH=10f_H=10fH=10Hz，如下图(b)所示。

2、用窗函数法生成FIR滤波器

首先我们考虑用窗函数法实现上述低通滤波器。由于冲激响应为h(t)=2fHSa(2πfHt)h(t)=2f_H{\rm Sa}(2\pi f_Ht)h(t)=2fHSa(2πfHt)，我们对其进行抽样，得到的离散序列为
h(nTsample)=2fHSa(2πfH⋅nTsample),h(nT_{\rm sample})=2f_H{\rm Sa}(2\pi f_H\cdot nT_{\rm sample}), h(nTsample)=2fHSa(2πfH⋅nTsample),简写为
(1)h(n)=2fHSa(2πfH⋅n).\tag{1} h(n)=2f_H{\rm Sa}(2\pi f_H\cdot n). h(n)=2fHSa(2πfH⋅n).(1)这个滤波器是不可实现的，因为它的冲激响应长度nnn是无限的，并且是非因果的。为了产生一个有限长度的冲激响应，就需要用窗口对其进行截断。通过截断处理并保留脉冲响应的中心部分，就可以得到线性相位FIR滤波器。若滤波器上截止频率为fHf_HfH，系统抽样间隔为TsampleT_{\rm sample}Tsample，冲激响应的长度NNN=51，这里nnn也成为FIR滤波器抽头系数的个数，则得到的FIR滤波器的冲激响应序列为

h =2*f_H*sinc(2*f_H*(-25:25)*T_sample);

这里采用的窗口是简单的矩形窗。下面的命令可以显示滤波器的频率响应

fvtool(h,1)

可以看到冲激响应如下图所示。在第nnn个采样点上的幅度大小就是FIR滤波器的抽头系数h(n)h(n)h(n)，这里n=1,2,...51n=1,2,...51n=1,2,...51。注意由于为物理可实现滤波器，因此h(26)h(26)h(26)对应的是中心点，即(1)中n=0n=0n=0的点。

下图为上述FIR滤波器的幅频特性，注意纵坐标为分贝值，横坐标为归一化频率（即真实频率除以抽样频率）。

我们发现，由于对理想滤波器进行了截断处理，因此得到的滤波器就不再是理想滤波器了。首先从通带到阻带的不是陡峭的，且阻带里的幅度也不为零，存在纹波。事实上，如果我们增大抽头系数个数NNN，传输特性会有所改善。下面两张图分别为N=101N=101N=101和N=501N=501N=501时的幅频特性，显然通带变得更加平坦，阻带电平也更小。

2、用fdatool设计滤波器并保存抽头系数

实际在仿真过程中，我们利用MATLAB中的滤波器设计插件fdatool，可以很方便地在可视化界面中设计滤波器参数，然后导出参数。

在MATLAB命令行窗口中，输入fdatoo命令，就可以打开滤波器设计界面，如下图所示。
参数设计：如果采样速率为100Hz，从通带到阻带的过渡带为[8Hz,10Hz]，低通滤波器，等纹波FIR。设置完成后，点下方的“Design Filter”按钮，就可以设计出滤波器来。可以在左上方“Current Filter Information"窗口中看到，设计出的滤波器阶数（即抽头数NNN）为63。正上方“Magnitude Response(dB)”窗口中为滤波器的幅频特性，横坐标最大值为fsample/2f_{\rm sample}/2fsample/2。

可以看到由于选择了“等纹波”类型，上图中阻带内的纹波是相同的。如果改成"Window"类型，频率传递函数如下图所示，此时纹波不在相等。

在fdatool界面中，菜单栏下有一排按钮，选择其中的冲激响应按钮，可以看到滤波器的冲激响应，如下图所示。显然，每个原点的幅值就是滤波器的抽头系数，两个点之间的横坐标差值就是采样间隔TsampleT_{\rm sample}Tsample。

若点击“Filter Coefficients”按钮，可以看到滤波器的抽头系数。若N=63N=63N=63，可以看到"Filter Coefficients"窗口显示的63个抽头系数。

3. 输出抽头系数：我们需要把设计好的滤波器抽头系数保存下来。尽管有几种不同的方式，我们这里主要介绍如何保存在内存中供MATLAB的程序调用。首先在fdatool界面下点击菜单"File–>Export…"，就会弹出下图中右边的"Export"界面。在界面中选择"Workspace"和“Num”，滤波器系数就输出到MATLAB工作空间中的“Num”向量中。回到MATLAB主菜单，可以在工作区中看到"Num"向量，这样就可以直接进行调用了。如下图所示。

4. 信号通过滤波器：我们采用卷积函数conv进行运算。得到波形如下图所示，显然输出波形与输入波形相比，有时延。请思考时延大小取决于什么？

滤波器输出频谱如下图所示。其中红颜色图形为输出信号频谱。经过滤波后，频率大于10Hz的成分被滤除掉了。