1.非线性规划的实例与定义

如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。

例1：（投资决策问题）

某企业拥有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i（i=1,....n)个项目需花费资金ai元，并预计可收益bi元，试选择最佳投资方案。

2.非线性规划的数学模型

一般形式：

$min\, f\left ( x \right )$

$s.t\begin{Bmatrix} h_{j}\left ( x \right )\leq 0\, j=1,2,...q\\ g_{i}\left ( x \right )= 0\, i=1,2,...p \end{Bmatrix}$

在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。

matlab中非线性规划的数学模型写成以下形式：

$min\, f\left ( x \right )$

$s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leqslant b\\ Aeqx=beq\\ c\left ( x \right )\leqslant 0\\ ceq\left ( x \right )=0\\ lb\leqslant x\leqslant ub \end{matrix}\right.$

其中f(x)是标量函数，A,b,Aeq,beq,lb,ub是相应维数的矩阵和向量，c(x),ceq(x)是非线性向量函数

matlab中的命令是：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x的返回值是决策向量x的取值;

fval返回的是目标函数的取值;

fun是用M文件定义的函数;

x0是x的初始值;

A,b,Aeq,beq定义了线性约束Ax<=b,Aeqx=beq,如果没有线性约束，则A=[ ],b=[ ],Aeq=[ ],beq=[ ];

lb和ub是变量x的下界和上界，如果上界和下界没有约束，即x无下界也无上界，则lb=[ ],ub=[ ]，也可以写成lb的各分量都为-inf，ub的各分量都为inf;

nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数c(x),ceq(x)；

options定义了优化参数，可以使用matlab缺省的参数设置。

例2：求下列非线性规划

$min\, f\left ( x \right )=x{_{1}}^{2}+x{_{2}}^{2}+x{_{3}}^{2}+8$

$s.t.\left\{\begin{matrix} x{_{1}}^{2}-x_{2}+x{_{3}}^{2}\geq 0\\ x_{1}+x{_{2}}^{2}+x{_{3}}^{2}\leqslant 20\\ -x_{1}-x{_{2}}^{2}+2=0\\ x_{2}+2x{_{3}}^{2}=3\\ x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

解：

(1)编写M文件fun1.m定义目标函数

function f=fun1(x);
f=sum(x.^2)+8;

(2)编写M文件fun2.m定义非线性约束条件

function [g,h]=fun2(x);
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20];
h=[-x(1)-x(2)^2+2x(2)+2*x(3)^2-3];

(3)编写主程序文件example2.m如下：

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')

3.二次规划

若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划

matlab中二次规划的数学模型可表述如下:

$min\, \frac{1}{2}x^{T}Hx+f^{T}x$

$s.t.\left\{\begin{matrix} Ax\leqslant b\\ Aeqx=beq\\ lb\leqslant x\leqslant ub \end{matrix}\right.$

这里H是实对称矩阵，f,b,beq,lb,ub,是列向量，A,Aeq是相应维数的矩阵

matlab中求解二次规划的的命令是：

[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

返回值x是决策向量x的取值;

返回值fval是目标函数在x处的值;

具体细节可以参考在matlab命令窗口中运行help quadprog的帮助

例3：求解二次规划

$min\, f\left ( x \right )=2x{_{1}}^{2}-4x_{1}x_{2}+4x{_{2}}^{2}-6x_{1}-3x_{2}$

$s.t.\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}\leqslant 3\\ 4x_{1}+x_{2}\leqslant 9\\ x_{1},x_{2}\geqslant 0 \end{matrix}\right.$

解：编写如下程序

h=[4,-4;-4,8];%%二次型矩阵，平方项系数x2填对角，交叉项系数/2
f=[-6;-3];
a=[1,1;4,1];
b=[3,9];
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1))

例4：

某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d(吨)由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间均有直线道路相连。（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨千米数最小。（2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量各为20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？

程序：

a = [1.25 8.75 0.5 5.75 4 7.25];
b = [1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25];
d =[3 5 4 7 6 11];
x =[5 2];
y =[1 7];
e =[20 20];for i=1:6for j=1:2aa(i,j)=sqrt((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2);end
end
CC=[aa(:,1);aa(:,2)];A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1];
B=[20;20];
Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 %从第一＼二料场运到工地一的料0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ];
beq=[d(1);d(2);d(3);d(4);d(5);d(6)];
VLB=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
VUB=[];
x0=[1 2 3 0 1 0 0 1 0 1 0 1];%给一个初值，可以不给
[xx,fval]=linprog(CC,A,B,Aeq,beq,VLB,VUB,x0)

改建两个新料场时，原本的A,B坐标变成未知数，令 $x_{1}=X_{13}$ ， $y_{1}=X_{14}$ , $x_{2}=X_{15}$ , $y_{2}=X_{16}$

定义目标函数：

function f=liaoch(x)
a=[1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25];
b=[1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.25];
d=[3 5 4 7 6 11];
e=[20 20];
f1=0;
for  i=1:6s(i)=sqrt((x(13)-a(i))^2+(x(14)-b(i))^2);f1=s(i)*x(i)+f1;
end
f2=0;
for  i=7:12s(i)=sqrt((x(15)-a(i-6))^2+(x(16)-b(i-6))^2);f2=s(i)*x(i)+f2;
end
f=f1+f2;

取初值为线性规划的计算结果及临时料场的坐标: x0=[3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7]';

编写主程序：

clear
x0=[3  5 0  7  0  1  0  0  4  0  6 10 5 1 2 7];
%x0=[ 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000  0 0.9293 0 0 3.9293  0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867];
%x0=[ 3.0000 5.0000 0.3094 7.0000 0.0108 0.6798 0 0 3.6906 0 5.9892 10.3202 5.5369 4.9194 5.8291 7.2852];
%x0=[3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5.6348 4.8687 7.2479 7.7499];
A=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0];
B=[20;20];
Aeq=[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0];
beq=[3 5 4 7 6 11];
vlb=[zeros(12,1);-inf;-inf;-inf;-inf];
vub=[];
[x,fval,exitflag]=fmincon('liaoch',x0,A,B,Aeq,beq,vlb,vub)

【数学建模笔记】3.非线性规划相关推荐

Python小白的数学建模课-12.非线性规划
非线性规划是指目标函数或约束条件中包含非线性函数的规划问题,实际就是非线性最优化问题. 从线性规划到非线性规划,不仅是数学方法的差异,更是解决问题的思想方法的转变. 非线性规划问题没有统一的通用方法, ...
数学建模笔记——插值拟合模型（二）
今天是8月21日,距离上次写文章好像将近一个月了--这段时间经历了建模校内选拔赛,考试周,以及与网络小说的斗智斗勇--好吧,其实也没干什么,除了考试就是荒废-- 我最近有在思考一个问题,就是我所关注的 ...
数学建模笔记之一起读论文2019年C题——机场的出租车问题
数学建模笔记之一起读论文--机场的出租车问题 2021-8-28 全国大学生数学建模竞赛 2019年C题 B站链接--国赛C题真题解析 1 赛题阅读与分析原题再现: 问题C 机场的出租车问题大多数 ...
数学建模笔记-第十四讲-主成分分析
文章目录主成分分析数据降维主成分分析思想 PCA计算过程主成分分析的应用例1 主成分的说明例2 MATLAB 对结果的解释主成分分析的滥用:主成分得分主成分分析用于聚类主成分回归说 ...
数学建模笔记-第五讲-相关系数
文章目录相关系数 pearson相关系数相关性可视化误区相关系数大小的解释例题描述性统计 matlab excel SPSS 矩阵散点图计算相关系数热力图美化结果对相关系数进行假设检 ...
数学建模笔记——评价类模型之灰色关联分析
这一篇就简单介绍一下灰色关联分析吧.灰色关联分析主要有两个作用,一是进行系统分析,判断影响系统发展的因素的重要性.第二个作用就是用于综合评价问题,给出研究对象或者方案的优劣排名. 不过这里我只能简单介 ...
数学建模笔记-第七讲-回归分析
文章目录回归分析线性回归介绍回归系数内生性探究蒙特卡罗代码弱化无内生性条件四种模型回归系数的解释四种模型回归系数的解释虚拟变量多分类的虚拟变量设置含交互项的自变量应用题(奶粉 ...
清风数学建模笔记——Excel画图保姆级教学
备注:本篇内容是在Office环境下作图,WPS不支持直方图和箱线图好像.免费的Office软件可以在微信搜索中搜"Office"然后挑一个下载即可本文借鉴了数学建模清风老师的课 ...
数学建模笔记（1）——评价类问题
写在前面,以下为几天后的数学建模做准备,鉴于非工科背景出身,决定放弃A类题,以C类题为主,辅以B题开始学习. ( 内容主要参考知乎.CSDN及B站网课,会表明出处,侵删) 首先研究评价类问题例如,2 ...
python三次样条插值拟合的树行线_数学建模笔记——插值拟合模型(一)
啊好像距离上次写作又过了七天,啊好像我之前计划的一周两三篇,啊辣鸡小说毁我青春,啊我是一只可怜的鸽子. 不管怎样,我又回来了,并坚定地更新着hhh.再过两三天就是我们学校数学建模选拔,再过八九天就是期 ...

【数学建模笔记】3.非线性规划

1.非线性规划的实例与定义

2.非线性规划的数学模型

3.二次规划

例4：

【数学建模笔记】3.非线性规划相关推荐

最新文章

热门文章