一、最小生成树

一棵最小生成树需要满足哪些条件呢？

不存在回路

对于具有n个顶点的连通网，其生成树中只能有n-1条边，这n-1条边连通着n个顶点

总的权值最小

判断是否会产生回路的方法为：

在初始状态下给每个顶点赋予不同的标记，对于遍历过程的每条边，其都有两个顶点，判断这两个顶点的标记是否一致，如果一致，说明它们本身就处在一颗树中，如果继续连接就会产生回路；如果不一致，说明它们之间还没有任何关系，可以连接。

二、克鲁斯卡尔算法

1、思路

将所有边按权值大小进行升序排序

判断是否构成回路

直到有n-1条边

2、示例

3、C语言代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_VERtEX_NUM 20
#define VertexType inttypedef struct Edge{VertexType initial;VertexType end;VertexType weight;
}edge[MAX_VERtEX_NUM];
//定义辅助数组
typedef struct {VertexType value;//顶点数据int sign;//每个顶点所属的集合
}assist[MAX_VERtEX_NUM];
assist assists;
//qsort排序函数中使用，使edges结构体中的边按照权值大小升序排序
int cmp(const void *a,const void*b){return  ((struct Edge*)a)->weight-((struct Edge*)b)->weight;
}
//初始化连通网
void CreateUDN(edge *edges,int *vexnum,int *arcnum){printf("输入连通网的顶点数和边数：\n");scanf("%d %d",&(*vexnum),&(*arcnum));printf("输入连通网的顶点：\n");for (int i=0; i<(*vexnum); i++) {scanf("%d",&(assists[i].value));assists[i].sign=i;}printf("输入各边的起始点和终点及权重(空格分隔)：\n");for (int i=0 ; i<(*arcnum); i++) {scanf("%d %d %d",&(*edges)[i].initial,&(*edges)[i].end,&(*edges)[i].weight);}
}
//在assists数组中找到顶点point对应的位置下标
int Locatevex(int vexnum,int point){for (int i=0; i<vexnum; i++) {if (assists[i].value==point) {return i;}}return -1;
}void Kruskal ()
{int arcnum,vexnum;edge edges;CreateUDN(&edges,&vexnum,&arcnum);//对连通网中的所有边进行升序排序，结果仍保存在edges数组中qsort(edges, arcnum, sizeof(edges[0]), cmp);//创建一个空的结构体数组，用于存放最小生成树edge minTree;//设置一个用于记录最小生成树中边的数量的常量int num=0;//遍历所有的边for (int i=0; i<arcnum; i++) {//找到边的起始顶点和结束顶点在数组assists中的位置int initial=Locatevex(vexnum, edges[i].initial);int end=Locatevex(vexnum, edges[i].end);//如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路if (initial!=-1&& end!=-1&&assists[initial].sign!=assists[end].sign) {//记录该边，作为最小生成树的组成部分minTree[num]=edges[i];//计数+1num++;//将新加入生成树的顶点标记全不更改为一样的for (int k=0; k<vexnum; k++) {if (assists[k].sign==assists[end].sign) {assists[k].sign=assists[initial].sign;}}//如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环if (num==vexnum-1) {break;}}}//输出语句printf("经克鲁斯卡尔算法得到最小生成树：\n");for (int i=0; i<vexnum-1; i++) {printf("%d->%d\n",minTree[i].initial,minTree[i].end);}return;
}int main(){Kruskal();return 0;
}

三、普里姆算法

1、思路

将顶点分为两类，一类是在查找的过程中已经包含在树中的（假设为A类),剩下的为B类

起始都为B类，选定任意一个点作为起始点，并将之从B类移至A类

在B类中找到A类中的顶点之间权值最小的点，将之从B类移至A类，重复，直到B类中没有顶点

2、C语言代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define VertexType int
#define VRType int
#define MAX_VERtEX_NUM 20
#define InfoType char
#define INFINITY 65535
typedef struct {VRType adj;                             //对于无权图，用 1 或 0 表示是否相邻；对于带权图，直接为权值。InfoType * info;                        //弧额外含有的信息指针
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERtEX_NUM][MAX_VERtEX_NUM];
typedef struct {VertexType vexs[MAX_VERtEX_NUM];        //存储图中顶点数据AdjMatrix arcs;                         //二维数组，记录顶点之间的关系int vexnum,arcnum;                      //记录图的顶点数和弧（边）数
}MGraph;
//根据顶点本身数据，判断出顶点在二维数组中的位置
int LocateVex(MGraph G,VertexType v){int i=0;//遍历一维数组，找到变量vfor (; i<G.vexnum; i++) {if (G.vexs[i]==v) {return i;}}return -1;
}
//构造无向网
void CreateUDN(MGraph* G){scanf("%d,%d",&(G->vexnum),&(G->arcnum));for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {scanf("%d",&(G->vexs[i]));}for (int i=0; i<G->vexnum; i++) {for (int j=0; j<G->vexnum; j++) {G->arcs[i][j].adj=INFINITY;G->arcs[i][j].info=NULL;}}for (int i=0; i<G->arcnum; i++) {int v1,v2,w;scanf("%d,%d,%d",&v1,&v2,&w);int m=LocateVex(*G, v1);int n=LocateVex(*G, v2);if (m==-1 ||n==-1) {printf("no this vertex\n");return;}G->arcs[n][m].adj=w;G->arcs[m][n].adj=w;}
}
//辅助数组，用于每次筛选出权值最小的边的邻接点
typedef struct {VertexType adjvex;//记录权值最小的边的起始点VRType lowcost;//记录该边的权值
}closedge[MAX_VERtEX_NUM];
closedge theclose;//创建一个全局数组，因为每个函数中都会使用到
//在辅助数组中找出权值最小的边的数组下标，就可以间接找到此边的终点顶点。
int minimun(MGraph G,closedge close){int min=INFINITY;int min_i=-1;for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {//权值为0，说明顶点已经归入最小生成树中；然后每次和min变量进行比较，最后找出最小的。if (close[i].lowcost>0 && close[i].lowcost < min) {min=close[i].lowcost;min_i=i;}}//返回最小权值所在的数组下标return min_i;
}
//普里姆算法函数，G为无向网，u为在网中选择的任意顶点作为起始点
void miniSpanTreePrim(MGraph G,VertexType u){//找到该起始点在顶点数组中的位置下标int k=LocateVex(G, u);//首先将与该起始点相关的所有边的信息：边的起始点和权值，存入辅助数组中相应的位置，例如（1，2）边，adjvex为0，lowcost为6，存入theclose[1]中，辅助数组的下标表示该边的顶点2for (int i=0; i<G.vexnum; i++) {if (i !=k) {theclose[i].adjvex=k;theclose[i].lowcost=G.arcs[k][i].adj;}}//由于起始点已经归为最小生成树，所以辅助数组对应位置的权值为0，这样，遍历时就不会被选中theclose[k].lowcost=0;//选择下一个点，并更新辅助数组中的信息for (int i=1; i<G.vexnum; i++) {//找出权值最小的边所在数组下标k=minimun(G, theclose);//输出选择的路径printf("v%d v%d\n",G.vexs[theclose[k].adjvex],G.vexs[k]);//归入最小生成树的顶点的辅助数组中的权值设为0theclose[k].lowcost=0;//信息辅助数组中存储的信息，由于此时树中新加入了一个顶点，需要判断，由此顶点出发，到达其它各顶点的权值是否比之前记录的权值还要小，如果还小，则更新for (int j=0; j<G.vexnum; j++) {if (G.arcs[k][j].adj<theclose[j].lowcost) {theclose[j].adjvex=k;theclose[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;}}}printf("\n");
}
int main(){MGraph G;CreateUDN(&G);miniSpanTreePrim(G, 1);
}

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