CSP考试复习：第二单元基础算法 2.5 常见的递推关系!

2.5 常见的递推关系!

1. 前序和：设 Si表示数列中首项①到第 i 项的和。
 Si 的递推公式：Si＝Si-1＋ai
 第 i 项到第 j 项中所有元素的和：S＝Sj－Si-1
2. 等差数列
 递推公式：设首项为 a0，公差为 d，则 an＝an-1＋d
 通项公式②：an＝a0＋nd $d_{n}\left\{\begin{matrix} 0 &n=1 \\ nd_{n-1}+\left ( -1 \right )^{n+2} & n\geq 2 \end{matrix}\right.$
 前 n 项和：Sn＝
1
2
(a0＋an)(n＋1)＝(n＋1)a0＋
1
2
dn(n＋1)
3. 等比数列
 递推公式：设首项为 a0，公比为 q，则 an＝qan-1
 通项公式：an＝a0q
n
 前 n 项和：Sn＝
a0(1－q
n+1)
1－q
4. 斐波那契（Fibonacci）数列

 递推公式： $\int _{n}=1=\int _{n+1}+\int _{n+2}$

通项公式（不能用于编程！）： $\int _{n}=\frac{\sqrt{5}}{5}\left [ \left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n+1} \right ]$

 实例：
① 楼梯有 n 阶台阶，上楼可以一步上 1 阶，也可以一步上 2 阶，计算共有多少种不同的走法。
② 有一对雌雄兔，每两个月就繁殖雌雄各一对兔子.问 n 个月后共有多少对兔子？
③ 有 n*2 的一个长方形方格，用一个 1*2 的骨牌铺满方格。求铺法总数。
5. 第二类 Stirling 数
 s(n,k)表示含 n 个元素的集合划分为 k 个集合的情况数。
 递推公式：s(n,k)＝s(n－1,k－1)＋k·s(n－1,k)，1≤k＜n
6. 错位排列
 示例：在书架上放有编号为 1，2，…，n 的 n 本书。现将 n 本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每本书都不能放在原来的位置上。求满足以上条件的放法共有多少种？
 错位排列数列为 0，1，2，9，44，265，…
 第一种递推公式： $d_{n}\left\{\begin{matrix} 0&n=1\\ 1&n=2\\ \left ( n-1 \right )\left ( d_{n-2}+d_{n-1} \right ) &n\geq 3 \end{matrix}\right.$

 第二种递推公式： $d_{n}\left\{\begin{matrix} 0 &n=1 \\ nd_{n-1}+\left ( -1 \right )^{n+2} & n\geq 2 \end{matrix}\right.$

通项公式： $d_{n}=n!\left [ \frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} -\cdots +\left ( -1 \right )^{n}\frac{1}{n!}\right ]$

7. 分平面的最大区域数
 n 条直线分平面的最大区域数的序列为：2，4，7，11，…
递推公式： $\int _{n}=\int_{n-1} +n$

通项公式： $\int _{n}=n\left ( n+1 \right )/2+1$

 n 条折线分平面的最大区域数的序列为：2，7，16，29，…
递推公式： $\int _{n}=\int _{n-1}+4n-3$

通项公式： $\int _{n}=\left ( n-1 \right )\left ( 2n-1 \right )+2n$
 n 条封闭曲线（如一般位置上的圆）分平面的最大区域数的序列为：2，4，8，14，…
递推公式： $C_{n}^{m}=\frac{A_{n+1}^{m+1}}{m!}=\frac{n!}{m!\left ( n-m \right )!}$

实例：
① 有 2n 个人排成一行进入剧场。入场费 5 元。其中只有 n 个人有一张 5 元钞票，另外 n 人只有 10
元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有 10 元的人买票，售票处就有 5 元的钞票找零？
② 一位大城市的律师在她住所以北 n 个街区和以东 n 个街区处工作。每天她走 2n 个街区去上班。如
果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
③ 在圆上选择 2n 个点，将这些点成对连接起来使得所得到的 n 条线段不相交的方法数？
④ n 个结点可构造多少个不同的二叉树？
⑤ 一个栈（无穷大）的进栈序列为 1，2，3，…n，有多少个不同的出栈序列？
⑥ 将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数？
⑦ 一个乘法算式 $P=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ 在保证表达式合法的前提下（某个数不会被括号括两次，如“((a))”是错误的），有多少种添加括号的方法？