MATLAB求解非齐次线性方程组

根据线性代数中求解方程组的基本知识，首先应判断系数矩阵的秩是否和增广矩阵的秩相等，若不等，则无解；若有解，根据秩和未知量个数的关系，判断是唯一解还是无穷多解；若为无穷多解，其通解为齐次方程组的通解加非齐次方程组的特解。

求非齐次线性方程组Ax=b的特解，可直接使用命令A\b，求解齐次线性方程组的通解，可以使用函数null或rref来实现。

命令	含义
`B = null(A,'r')`	求系数矩阵为A的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，结果为有理数，B的列向量即基础解系的列向量
`Z = null(A)`	求出Ax=0的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在Z中
`C = rref(A)`	求出矩阵A的行最简形矩阵（reduced row echelon form）

function [S_H, S_P] = solveLS(A,b)
% 输入参数A：系数矩阵
% 输入参数b：Ax=b的常数项列向量b
% S_H：齐次线性方程组的基础解系
% S_P：非齐次线性方程组的特解
if size(A,1) ~= length(b)   %size(A,1)求矩阵的行数error('输入数据错误，请重新输入！');return;
elseB = [A,b];  %增广矩阵rank_A = rank(A);   %求系数矩阵的秩rank_B = rank(B);   %求增广矩阵的秩if rank_A ~= rank_B %无解情况disp('线性方程组无解！');S_H = [];S_P = [];else if rank_B == size(A,2) %若增广矩阵的秩 = 未知量个数%size(A,2)求矩阵的列数，相当于length(A)disp('线性方程组有唯一解！');S_P = A\b;  %求唯一解S_H = [];elsedisp('线性方程组有无穷解！');S_H = null(A,'r');%求出齐次方程组的基础解系S_P = A\b;  %求非齐次方程组的特解endend
end

例使用Matlab求解方程组

⎧⎩⎨x1+2x2−2x3+3x4=22x1+4x2−3x3+4x4=55x1+10x2−8x3+11x4=12

\begin{cases} x_1+2x_2-2x_3+3x_4=2 \\ 2x_1+4x_2-3x_3+4x_4=5 \\ 5x_1+10x_2-8x_3+11x_4=12 \end{cases}

A=[1 2 -2 3; 2 4 -3 4; 5 10 -8 11];
b=[2 5 12]';format rat;
[S_H, S_P]=solveLS(A,b)

运行结果

线性方程组有无穷解！S_H =-2              1
       1              0       0              2       0              1       S_P =0       7/4     0       -1/2

该线性方程组有无穷多解，通解为
x=k1⎛⎝⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟+k2⎛⎝⎜⎜⎜1021⎞⎠⎟⎟⎟+⎛⎝⎜⎜⎜07/40−1/2⎞⎠⎟⎟⎟,k1,k2∈R x=k_1 \left(\begin{matrix} -2\\ 1\\ 0\\ 0 \end{matrix} \right)+k_2 \left(\begin{matrix} 1\\ 0\\ 2\\ 1 \end{matrix} \right)+ \left(\begin{matrix} 0\\ 7/4\\ 0\\ -1/2 \end{matrix} \right),k_1,k_2 \in R

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