行列向量的维数和个数的关系【三秩相等作为桥梁】
前置知识
1.列向量组维数增加时,向量组的极大无关组增加(或不变)。
2. 三秩相等
向量组证明
直观证明
这两个列向量显然是相关的。
这两个列向量当a和b取k和2k的时候相关(k为任意常数),当不是k和2k的时候无关,因此列向量组的极大无关组的向量个数增加(或不变)。
利用方程组证明
当列向量相关时。
可以看到有无穷多个解。
添加维数:
可能有无穷多个解,也可能只有0解。
含义是,添加了维数,列向量组可能从相关变成无关。
或者这样考虑,本来是有一些解的,然而增加了维数相当于增加了了一个方程,相当于增加了一个约束条件,因此,原来的解可能就不是新方程组的解了,即列向量组的无关性增加了。
当列向量不相关时,增加约束条件一定就更不相关了。
因此,题设得证。
三秩相等说明
在这篇文章中进行了简要说明:矩阵和向量组的关系
行列向量的维数和个数的关系
有了前面的材料,首先我们知道了列向量组维数增加,那么列向量组的极大无关组的个数增加(或不变),因此列秩增加(或不变)。又因为列秩等于行秩(三秩相等),行秩增加(或不变),行向量组的线性无关组的个数增加(或不变)。
而列向量组的维数增加,我们可以等价于这个行向量组的个数增加。
因此,通过记住列向量维数的性质,就可以把行列向量的个数和行列向量向量的维数联系起来了。
eg:
问:行向量组的个数增加,行向量组的秩怎么变化?矩阵的秩怎么变化?
答:行向量组的秩增加,矩阵的秩增加。
原因:1. 行向量组的个数增加就是列向量组的维数增加(或不变)(行列转化),因此列秩增加(或不变)(知识1),因此,行秩增加(或不变),矩阵的秩增加(或不变)。(三秩相等)
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