形式语言与自动机第三课

本章节主要内容：

确定有限自动机、非确定有限自动机及其等价性
右线性文法和有限自动机的等价性
右线性文法性质（泵普定理）
使用归纳法进行证明

确定有限自动机、非确定有限自动机及其等价性

状态：将事物区分的一种标识
有限状态自动机必定是离散的
有限状态自动机

具有离散的输入输出（可以没有输入或者输出）
状态有限
状态+输入->状态转移

有限自动机五要素：

有限状态集
有限符号输入集
转移函数
一个开始状态
一个终态集合

DFA->每次转换后的后继状态唯一
NFA->每次转换后的后继状态唯一

FA：理解为读取卡带上字符的控制器

DFA

定义：M=(Q,T,δ,q0,F)M = (Q, T, \delta, q_0, F)M=(Q,T,δ,q0,F)
QQQ：有限状态集合
TTT：有限输入集合
δ\deltaδ状态转移集合 Q×T→QQ \times T \rightarrow QQ×T→Q
q0q_0q0：初始状态
FFF：终止状态集

δ′\delta 'δ′函数：接收一个字符串的状态转移函数
δ′(q,ϵ)=q\delta '(q, \epsilon) = qδ′(q,ϵ)=q
DFA接收的语言KaTeX parse error: Undefined control sequence: \set at position 6: L(M)=\̲s̲e̲t̲{\omega | \delt…
必须使得DFA到达终态
格局
描述有限状态机在某个时刻的状态
初始格局：q0,ωq_0, \omegaq0,ω（ω\omegaω 为待输入字符串）
终止格局：q,ϵq, \epsilonq,ϵ

有限状态自动机是无记忆的

自动机的设计是一个创造过程
关键：不需要记住所看到的整个字符串，只需要记住关键信息

NFA

对应一个输入，可以同时到达多个状态，称之为NFA
NFA的δ\deltaδ为：Q×T→2QQ \times T \rightarrow 2^QQ×T→2Q

接收一个字符串后，NFA进入一个状态集，包含一个或者以上F中的状态，称之为NFA接收该字符串

δ′\delta 'δ′扩展
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \set at position 21: …a'(q,\epsilon)=\̲s̲e̲t̲{q}
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \set at position 16: \delta'(q, wa)=\̲s̲e̲t̲{p|存在r\in\delta…：δ′(q,w)\delta'(q, w)δ′(q,w)对应的每个状态下再接收字符a后可以达到的状态集合的并集，即δ′(q,w)=ri,δ′(q,wa)=∪δ(ri,a)\delta'(q, w)={r_i},\delta'(q,wa)=\cup \delta(r_i, a)δ′(q,w)=ri,δ′(q,wa)=∪δ(ri,a)

NFA、DFA的等价性

DFA是NFA的特例
因此，NFA必定能接收DFA的源
证明等价性：只要证明NFA能接收的语言能被DFA所接收

定理：设一个NFA接收语言L，则必定存在一个DFA能接收L

子集构造法（我不是很懂）

实践中，通过子集构造法得到的DFA的状态数目与原NFA的状态数目大体相同