Abel求和法

经典的Abel求和法，即Abel变换，是指将有限个两项乘积之和，转换成含有其中一项部分和的乘积之和的过程。

定理 1 (Abel变换) 设{an}n=0∞\{a_n\}_{n=0}^{\infty}{an}n=0∞和{bn}n=0∞\{b_n\}_{n=0}^{\infty}{bn}n=0∞是两个复数列，对任意N∈Z,M∈N∗N\in\mathbb{Z},M\in\mathbb{N}^*N∈Z,M∈N∗，有
∑N<n≤N+Manbn=AN+MbN+M+1+∑N<n≤N+MAn(bn−bn+1),\sum_{N<n\leq N+M}a_nb_n=A_{N+M} b_{N+M+1}+\sum_{N<n\leq N+M}A_n(b_n-b_{n+1}),N<n≤N+M∑anbn=AN+MbN+M+1+N<n≤N+M∑An(bn−bn+1),其中An:=∑N<m≤nam(n≥0)A_n:=\sum_{N<m\leq n}a_m(n\geq0)An:=∑N<m≤nam(n≥0). 特别的，若
sup⁡N<n≤N+M∣An∣≤A,{bn}n=0∞非负且单调下降，\sup_{N<n\leq N+M}|A_n|\leq A,\{b_n\}_{n=0}^{\infty}非负且单调下降，N<n≤N+Msup∣An∣≤A,{bn}n=0∞非负且单调下降，那么
∣∑N<n≤N+Manbn∣≤AbN+1.|\sum_{N<n\leq N+M}a_nb_n|\leq Ab_{N+1}.∣N<n≤N+M∑anbn∣≤AbN+1.

定理 2 (Abel判别法) 设{an}n=0∞\{a_n\}_{n=0}^{\infty}{an}n=0∞是复数列，{bn}n=0∞\{b_n\}_{n=0}^{\infty}{bn}n=0∞是非负且单调下降的实数列，若
lim⁡n→∞bn=0,sup⁡N≥0∣∑0≤n≤Nan∣≤A,\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=0, \sup_{N\geq0}|\sum_{0\leq n\leq N}a_n|\leq A,n→∞limbn=0,N≥0sup∣0≤n≤N∑an∣≤A,那么，级数∑n≥0anbn\sum_{n\geq0}a_nb_n∑n≥0anbn收敛，且
∣∑n>Nanbn∣≤2AbN+1.|\sum_{n>N}a_nb_n|\leq 2Ab_{N+1}.∣n>N∑anbn∣≤2AbN+1.

定理 3 设 {an}n=0∞\{a_n\}_{n=0}^{\infty}{an}n=0∞ 是复数列，令A(t):=∑n≤tan(t>0),A(t):=\sum_{n\leq t}a_n ~~~~~ (t>0),A(t):=n≤t∑an (t>0),那么对任意函数 b∈C1([1,x])b\in\mathcal{C}^1([1,x])b∈C1([1,x]) 有
∑1≤n≤xanb(n)=A(x)b(x)−∫1xA(t)b′(t)dt.\sum_{1\leq n\leq x}a_nb(n)=A(x)b(x)-\int^x_1A(t)b'(t)dt.1≤n≤x∑anb(n)=A(x)b(x)−∫1xA(t)b′(t)dt.

定理 4 (第二中值公式) 设 fff 是区间 [a,b][a,b][a,b] 上的单调函数，ggg 是其上的可积函数。那么存在实数 ξ\xiξ, a≤ξ≤ba\leq \xi\leq ba≤ξ≤b, 使得∫abf(t)g(t)dt=f(a)∫aξg(t)dt+f(b)∫ξbg(t)dt.\int^b_af(t)g(t)dt=f(a)\int^\xi_ag(t)dt+f(b)\int^b_\xi g(t)dt.∫abf(t)g(t)dt=f(a)∫aξg(t)dt+f(b)∫ξbg(t)dt.

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