一、定义
定义1 设G是定义了一个二元运算+的集合，如果这个运算满足下列性质：
（1）封闭性——如果a和b都属于G，则a+b也属于G。

（2）结合律——对于G中的任意元素a、b和c，都有（a+b）+c=a+（b+c）成立。

（3）单位元——G中存在元素e，对于G中任意元素a，都有a+e=e+a=a成立。

（4）逆元——对于G中任意元素a，G中都存在元素a'，使得a+a'=a'+a=e成立。G就叫作一个群，记为（G，+）。

如果这里的运算+是加法运算，则称G为加法群；如果这里的运算+是乘法运算，则称G为乘法群。如果一个群中的元素是有限的，则称这个群是一个有限群；否则称这个群是一个无限群。有限群中元素的个数称为群的阶。

例：集合｛0，1｝关于xor运算是群，阶为2
封闭性：0 xor 1 = 1属于该群
结合律：（0 xor 1）xor 0 = 1 = 0 xor （1 xor 0）
单位元为0：0 xor 0 = 0，0 xor 1 = 1
逆元为1：1 xor 0 = 1，1 xor 1 = 0

又如：自然数集合N=｛1，2，3…｝对于通常的加法封闭且满足结合律，但不存在左单位元和左逆元，因此对于加法不是群。

如果群（G，+）中的运算+还满足交换律，即对G中的任意元素a和b，都有a+b=b+a成立，则称G为一个交换群或Abel群，例如整数关于加法的运算（Z，+）就为交换群。

在群中定义求幂运算为重复使用群中的运算，如a4=a+a+a+a。规定a0=e为单位元。如果一个群的所有元素都是a的幂ak，则称这个群是一个循环群，这里的k是整数。a也被称为这个群的生成元。

例：整数加法群是一个循环群，1是生成元，每一个元素都是1的幂，如：
4=14=1+1+1+1
-3=1 -3=（-1）+（-1）+（-1）
而且规定0=1 0，即0为0个1相加。

（注：定义中的“+”并不代表具体的加法，而是抽象的加法——代表一种代数运算）

定义2 给定群G中元素a，称满足ai=e的最小正整数i为元素a的阶。

二、群的基本性质
（1）左逆元同时也是右逆元，即对于a，b∈G，b+a=e，则a+b=e。

（2）左单位元同时也是右单位元，即如果对于所有的a∈G有ea=e，则对于所有的a∈G也有ae=e。

（3）单位元是唯一的。

（4）逆元是唯一的。

双线性映射

抽象意义的双线性映射描述如下：

设G1、G2都是阶为p的循环群，p是素数。如果映射e: G1 × G1 → G2 满足以下性质：
（1）双线性性。
对于任意a，b∈Zp和R，S∈G1，有e(Ra, Sb) = e(R, S)ab；

（2）非退化性。
存在R，S∈G1，使得e(R, S) ≠ 1G2。这里1G2代表G2群的单位元；

（3）可计算性。
存在有效的算法对任意的R，S∈G1，计算e(R, S)的值。

那么称e是一个双线性映射。
双线性映射可以通过有线域上的超椭圆曲线上的Tate对或Weil对来构造。

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