图论-最短路径-Dijkstra

单源、无负权（会出现负值圈）可打印路径的模版：O(n^2)

Dijkstra求解是一个点一旦已经访问了，后续即使有从起点到该点更短的路径，也无法更新了。所以不适合有负权的图。如下图：1->2的最短路径应该是1->3->2,而不是1->2。实质：贪心

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
const int inf = 1e9;
int n, G[maxn][maxn], m;//n个点，m条边
int dis[maxn], path[maxn];
bool vis[maxn]={false};
void Dijkstra(int s)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
dis[i] = G[s][i];
if(G[s][i] != inf) path[i] = s;
else path[i] = -1;
}
dis[s] = 0;//起点距离自身为0
for(int i = 0; i < n; i++)//循环n次，或者令vis[s]=1，循环n-1次
{
int u = -1, minn = inf;
for(int j = 0; j < n; j++)
{
if(!vis[j] && dis[j] < minn)
{
u = j;
minn = dis[j];//找未访问过的最短的距离
}
}
if(u == -1) break;//不连通
vis[u] = true;
for(int v = 0; v < n; v++)
{
//从该点出发更新其他点到起点的距离
if(!vis[v] && dis[u] + G[u][v] < dis[v])
{
dis[v] = dis[u] + G[u][v];
path[v] = u;//可输出路径
}
}
}
}
void displayPath(int e)
{
vector<int> p;
printf("0-->%d 距离：%d\n路径为：",e, dis[e]);
p.push_back(e);
int pre = path[e];
while(pre != -1)
{
p.push_back(pre);
pre = path[pre];
}
for(int i = p.size() - 1; i >0; i--)
printf("%d-->", p[i]);
printf("%d\n", p[0]);
}
int main()
{
freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
int x, y, z;
fill(G[0],G[0]+maxn*maxn,inf);//全都初始化不可达到
for(int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> x >> y >> z;
G[x][y] = G[y][x] = z;
}
Dijkstra(0);
for(int i = 0; i < n; i++)
displayPath(i);
return 0;
}

图论-最短路径-Floyd

多源，无环，无负权：O(n^3) 实质：动态规划

再考虑顶点2和3，更新距离和路径

路径的求解原理：

路径的求解：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
const int inf = 1e9;
int n,m;
int dis[maxn][maxn], path[maxn][maxn], edges[maxn][maxn];
void Floyd()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
if(i == j) dis[i][j] = 0;//i==j需要特殊处理一下
else dis[i][j] = edges[i][j];
//注意i ！= j，因为是多源，不能像Dijkstra那样把起点的path设成-1
if(i != j && dis[i][j] != inf) path[i][j] = i;
else path[i][j] = -1;
}
}
for(int k = 0; k < n; k++)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
if(dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j])
{
dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
path[i][j] = path[k][j];
}
}
}
}
}
int main()
{
//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
int x, y, z;
fill(edges[0],edges[0]+maxn*maxn,inf);//全都初始化不可达到
for(int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> x >> y >> z;
edges[x][y] = edges[y][x] = z;
}
Floyd();
for(int i = 0; i < n; i++)
printf("dis[0][%d]: %d\n", i, dis[0][i]);
return 0;
}

图论-最短路径-SPFA(队列优化的Bellman-Ford)

不适合负权回路的图，单源最短路：O(e)-O(ne) e为边数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 10000;
const int inf = 1e9;
int n,m;
int dis[maxn], path[maxn], vis[maxn];
struct node{
int Next,val;
};
vector<node> edges[maxn];
queue<int> q;
void spfa(int s)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
dis[i] = inf;
path[i] = -1;
}
dis[s] = 0;//自己到自己0
vis[s] = 1;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int u = q.front();
q.pop();
vis[u] = 0;
for(int i = 0; i < edges[u].size(); i++)//松弛和自己相邻的边
{
int v = edges[u][i].Next, weight = edges[u][i].val;
if(dis[u] + weight < dis[v])
{
dis[v] = dis[u] + weight;
path[v] = u;
if(!vis[v])
{
vis[v] = 1;
q.push(v);
}
}
}
}
}
int main()
{
//freopen("/Users/zhangkanqi/Desktop/11.txt","r",stdin);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
cin >> n >> m;
int x, y, z;
for(int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> x >> y >> z;
edges[x].push_back({y,z});
edges[y].push_back({x,z});
}
spfa(0);
for(int i = 0; i < n; i++)
printf("dis[%d]:%d\n",i, dis[i]);
return 0;
}

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