数字信号处理常见知识点汇总

离散时间信号与系统分析：

1. 利用DFT进行谱分析会产生哪些误差
（1）混叠现象：
由于DFT是针对离散时间信号进行谱分析的，因此要先对连续信号进行采样，采样频率若不满足奈奎斯特采样定理，则频谱会在 w=πw=\piw=π （折叠频率）附近发生混叠。
（2）栅栏效应：
由于N点DFT是在数字频率[0,2π][0,2\pi][0,2π]上对信号的频谱进行N点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是不知道的，像是通过N个栅栏缝隙中去观察频谱函数值一样。

改善方法：
增大DFT的采样点数N；
时域序列末尾补0，时域序列末尾补0至L点DFT后，计算出的频谱函数值实际上是原信号频谱在[0,2π][0,2\pi][0,2π]上的L点等间隔采样，从而增加了对真实频谱采样的点数，并改变了采样点的位置，这将会显示出原信号频谱更多的细节，故可以改善栅栏效应（像是增多了栅栏的缝隙）。
（3）截断效应（吉布斯效应）：
实际中遇到的信号可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，需要用矩形窗函数RN(n)R_{N}(n)RN(n)截断成有限长序列y(n)=x(n)RN(n)y(n)=x(n)R_{N}(n)y(n)=x(n)RN(n)。
由于时域和矩形窗函数乘积，对应于频域和Sa()Sa()Sa()函数卷积，因此截断后序列的频谱与原序列的频谱必然有区别，主要表现在以下两个方面：

原来的离散谱线会向附近展宽，形成频谱泄露（信号频谱中各谱线之间相互影响 ,使测量结果偏离实际值 ,同时在谱线两侧其他频率点上出现一些幅值较小的假谱）；
另一方面是主谱线两侧形成许多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰，形成谱间干扰。

改善方法：
由于存在截断效应，增加N使RN(w)R_{N}(w)RN(w)的主瓣变窄（相应地减小过渡带带宽），提高频谱分辨率，但旁瓣的个数和幅度不会减小（不改变肩峰值，最大肩峰值总是约为8.95%，只能使起伏震荡变密），因此为了减小谱间干扰（改善截断效应），只能换窗。

2. 序列末尾补0与间插0的区别

DFT——末尾补零与插零方式的区别
末尾补零：
改善栅栏效应，提高频谱分辨率。

3. 引起栅栏效应的原因是什么？
由于DFT是对连续频谱的N点采样，因此导致频域观测的是离散谱线，不连续，出现类似通过栅栏的缝隙去观察频谱一样。

4. 如何利用DFT计算IDFT

先对X(k)取共轭，再对X∗(k)X^{*}(k)X∗(k)求DFT后再取共轭并除以N.

5. 频域采样定理
频域采样同样会导致时域信号周期性延拓，若在频域对频谱进行N点采样，则时域信号则会以N为周期进行周期性延拓，此时采样点数N≥时域序列长度M才可避免发生时域混叠。

6. 频率分辨率
频率分辨率F，即信号的模拟分辨率，与信号的补零长度无关，仅与信号的有效长度有关，

F=1Tpmin=1NT=FsNF=\frac{1}{T_{pmin}}=\frac{1}{NT}=\frac{F_s}{N}F=Tpmin1=NT1=NFs

其中Tpmin是信号的最小记录时间=1NTmax\frac{1}{NT_{max}}NTmax1，Tmax为最大时间间隔，即1/Fsmin=1/2Fmax.

信号的持续时间t=1/F=N·Tmax.

7.非零周期序列的Z变换不存在。

系统及滤波器设计：

1. 最小相位系统与全通系统的关系及其应用
最小相位系统，是指零点全部在单位圆内的稳定系统。

应用：
（1）利用最小相位系统，可得到幅度响应相同但相位延迟（群延迟）最小的系统；
（2）任何一个非最小相位系统的系统函数均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成。
（3）最小相位系统保证其逆系统存在，逆滤波在信号检测及解卷积中有重要应用。

全通系统，是指幅度响应为常数的稳定系统。

全通系统属于最大相位系统，因为其全部零点均在单位圆外，而全部极点均在单位圆内；此外，全通系统每一对零、极点呈倒数关系，以单位圆为界镜像分布（可作为分析题的一种判断依据，如求出H(z)的极点1/a，零点a，则为全通系统）。

应用：利用全通系统可设计出通带近似为线性相位的IIR滤波器（因为信号通过全通系统后，幅度谱不变，仅相位谱发生改变，得到纯相位滤波）。

2. IIR数字滤波器的优缺点
优点：

IIR Filters的系统函数可以写成封闭函数的形式；
IIR Filters在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、切比雪夫、椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，设计工作量较小，对计算工具要求不高；

缺点：

相位的非线性，将引起频率的色散，若需线性相位，则要采用全通网络进行相位校正，从而使得滤波器设计变得复杂，成本也高。
IIR Filters采用递归型结构，即带有反馈环路，由于运算中的舍入处理，使误差不断积累，有时会产生寄生振荡（极限震荡环）。

3. 频率采样法设计FIR滤波器时，如果阻带衰减不够，应该采取何种措施？
提高阻带衰减的具体方法是在频率响应间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡带。（注意与窗函数法改变阻带衰减的方法不同：窗函数法是直接换窗）

4. 什么是吉布斯效应？窗函数的旁瓣峰值衰减损耗和滤波器设计时的阻带最小衰减各指什么，有何区别？
增加窗口长度N只能相应的减小过渡带宽度，而不能改变肩峰值。如：使用矩形窗时，最大肩峰值约为8.95%，无论N如何增大，只能使起伏震荡变密，而最大肩峰值总是8.95%，这种现象称为吉布斯效应。

旁瓣峰值衰减损耗适用于窗函数，是窗谱主板旁瓣幅度之比，
即旁瓣峰值衰减损耗=20lg(第一旁瓣值/主瓣峰值)。

阻带最小衰减适用于滤波器。
当滤波器是用窗函数法得出时，阻带最小衰减取决于窗谱主瓣旁瓣面积之比。

5. FIR与IIR的区别

IIR相位一般是非线性的，FIR可实现严格线性相位
IIR不一定稳定，但FIR一定稳定
IIR一定存在递归结构，FIR主要是非递归结构，也可以含有递归结构
相同性能下IIR阶数较少，FIR阶数较高
IIR的设计有封闭形式的表达式，FIR没有封闭形式的表达式
IIR有噪声反馈，噪声大，FIR噪声小
IIR运算误差大，可能出现极限震荡环，FIR运算误差小，不存在极限震荡环
IIR对计算手段要求低，FIR一般要用计算机实现
IIR主要用于设计带限滤波器（LP,HP,BP,BS），FIR可设计应用更为广泛的滤波器
IIR作为选频滤波器，对频率分量选择性良好，而FIR选择性差

6. 尾数处理
数字系统在定点制乘法运算和浮点制加法、乘法运算中进行尾数处理。

7. 双线性变换法设计步骤

确定数字滤波器的技术指标：
wp,wsw_p,w_swp,ws,
通带最大衰减αp通带最大衰减\alpha_p通带最大衰减αp（越小越好，越小通带内对信号的衰减越小）
阻带最小衰减αs阻带最小衰减\alpha_s阻带最小衰减αs（越大越好，越大对阻带内信号的衰减越大）
预畸变
根据模拟滤波器的技术指标确定模拟滤波器的传输函数Ha(s)H_a(s)Ha(s)
利用变换公式将模拟滤波器的传输函数Ha(s)H_a(s)Ha(s)变换为数字滤波器的系统函数H(z)H(z)H(z)

其中双线性变换法会改变所有点的频率，而非部分特殊点的频率，原理是采用非线性频率压缩的方法，克服了脉冲响应不变法所采用的线性变换引发频域混叠的缺点，将整个模拟频率轴压缩到±πT\pm\frac{\pi}{T}±Tπ之间，再利用z=eSTz=e^{ST}z=eST(Z变换与Laplace变换的关系)转换到Z平面上。

8. 从模拟滤波器设数字滤波器必须满足的两个条件
（1）因果稳定的模拟滤波器转化为数字滤波器，仍然是因果稳定的。模拟滤波器的因果稳定的条件是Ha(s)H_a(s)Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面，数字滤波器因果稳定的条件是H(z)H(z)H(z)的极点全部位于单位圆内，因此转换关系使s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内部。
（2）数字滤波器的频率响应应接近于模拟滤波器的频率响应特性，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上，响应的频率关系呈线性关系。

9. 窗函数法设计FIR滤波器，过渡带宽取决于窗谱的主瓣宽度**，肩峰与阻尼（阻带最小衰减）取决于窗谱的主瓣与旁瓣的面积之比。**

10.系数量化效应的影响

11. 极点位置灵敏度，极限环振荡

极点偏移和系数的量化误差大小有关
极点偏移和系统极点的密集程度有关
极点的偏移和滤波器的阶数N有关，阶数越高，系数量化效应的影响越大，因而极点偏移越大

在IIR滤波器中由于存在反馈环，舍入处理在一定条件下引起非线性振荡，如零输入极限环振荡。

12. 误差影响
IIR滤波器，直接型运算误差累积最大，级联型运算累计误差较小，并联型运算误差最小且速度最快。
直接型运算误差累积最大，且极点灵敏度过高，易出现不稳定或较大误差；
级联型“田字型”可直接控制零极点；
并联型可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置。