MBA-day24 最值问题

1. 思路点拨

y = ax^2 + bx + c

当a=0，函数为一次方程，无最大值
当a<0时，抛物线开口向下，最大值为(4ac-b^2)/4a, x = (x1+x2)
当a>0时，抛物线开口向上，只有最小值,x = -b/2a

2. 习题

2.1 例题 1

甲商店销售某种商品，该商品的进价为每件 90 元，若每件定价 100 元，则一天内能销售出 500，在此基础上，定价每增加 1 元，一天便能少售出 10 件，甲商店欲获得最大利润，则该商品的定价为（）

答： 120

解：
设每增加 x 个 1元，则就可以少售出 x 个10件
y = ((100 + x) - 90 ) * (500 - 10x)
y = (10 + x)(500 - 10x)
y = 5000 - 10x + 500x - 10x^2
y = -10x^2 + 490x + 5000, a = -10, 即 a<0时，抛物线开口向下，存在最大值令y = 0,分别得到 x1 = -10, x2 = 50
x最大值 = (x1+x2) / 2 = 20 , 即新增 20元，即定价 120 元

2.2 例题 2

某商场将每台进价为 2000 元的冰箱以，2400元销售时，每天销售 8 台，调研表明这种冰箱的售价每降低 50 元，每天就能多销售 4 台，若要每天销售利润最大，则该冰箱的定价应为多少？

答： 2250

解：设降低x个50元，则多销售x个4台
y = (2400 - 50x - 2000) * (8 + 4x)
y = (400 - 50x) * (8 + 4x)
-> a = -200, 即 a<0时，抛物线开口向下，存在最大值(利润最大值)
-> x1 = 8, x2 = -2
->x最大值(x1 + x2)/2 = 3即降低x个50元，即降价 150， 即定价 2250

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