人工神经网络(ANN)
本文将主要参考Tom M.Mitchell的《机器学习》一书说明一下人工神经网络,组织结构是这样的:先讨论人工神经网络最基本的组成单元:感知器和sigmoid单元,然后介绍由这些基本组成的多层次网络的反向算法。
前言:
人工神经网络(Artificial Neural Networks)在一定程度上收到了生物学的启发,利用大脑神经元的特征构建出人工神经元来进行数学建模或者计算。神经网络是一种运算模型,由大量的结点和结点之间的连接组成,它除了输入结点以外,每个结点都代表着一种特殊的输出函数,称为激励函数。每两个节点间的连接都代表一个对于通过该连接信号的加权值,称之为权重(weight),这相当于人工神经网络的记忆。
第一节. 感知器,线性单元和sigmoid单元
我们的大脑是有最基本的神经元组成的,这些神经元就是对不同的刺激产生不同的脉冲,我们人类的大脑大约由10^11个神经元互相连接组成,正是由这些种类繁多的神经元,才使得人类有如此神奇的大脑。而我们的人工神经网络也是由一种基本的单元组成,不同的组成单元会使得人工神经网络表现能力各由不同,这里我们将介绍三种基本组成单元:感知器,线性单元和sigmoid单元,它们的结构都如下,唯一的不同在于这个输出函数(也称激励函数)是个什么类型的,下面我将简单的介绍下各个基本组成单元。
1.1感知器
感知器是以实数值向量最为输入,计算这些输入的线性组合,若结果大于0,就为1,否则输出-1.函数形式如下
这类感知器的表现能力是很有限的,它可以表示所有的原子布尔函数:与,或,与非和或非,但是却不能表示异或函数。比如说对于输入x1,x2现在感知器要输出他们与关系,它就可以表示出来,感知器有三个变量w0,w1,w2, f(x) = w0+w1*x1+w2*x2, 我可以让w0 = -0.8, w1 = w2 = 0.5,那么大姐可以分别对x1,x2取0和1看一下这个结果,比如x1 = 0,x2 = 1,那么F(x) = -0.8 + 0.5 *1 + 0.5 * 0 = -0.3, f(x) < 0 ,所以取0,结果正确,大家可以试着把其他三种情况带进去试一下。而异或关系它就没办法表示了,看下图:
你根本不可能划一根线把上面的0和1分开。
我们的目标就是通过样例训练基本单元,更新它们对应的权值,算法很简单:
for 所有的样例输入X
更新每一个权重wi <---- wi + *wi
其中*wi = a( t - 0 ) xi, t为样例的目标输出,而0是感知器的输出,a是一个小的常数叫学习速率。
这么简单的一个式子怎么就可以训练出正确的权值呢?
为了有一个直观的理解,我举一个例子,若感知器正确分类,则 t - o为零,权值wi不
会调整;若目标输出为+1,而感知器输出为-1,也就是感知器低估了目标输出,此时
t - 0为 2,那么wi会增加 ; 反过来,若目标输出t为-1,感知器输出为+1,感知器高估
了目标的输出,此时t - o = -2,相应的wi就会减少。这样,通过有限次的使用感知器训
练法则,我们的权值向量就会收敛到一个能正确分类的权向量了,当然这个学习速度a
也要够小。
1.2 线性单元
线性单元和上面的感知器基本类似,也是f(x) =WX(注意大写为向量表示),而它没有了这个阀值得判定,即f(n) = 1, ifWX > 0,这样它就比感知器要强大很多,当出现线性不可分的时候,感知器是毫无办法,没办法收敛,而线性单元会找到目标的最佳近似。它比感知器强大的地方在与它对问题空间的表示是连续的。
由于搜索空间为连续的,我们可以利用梯度下降来训练我们的权值W,其实现在的问题是我们能否找到一组权值W使得我们对样例的分类误差最小,那么我们应该怎样度量这个误差呢?
这里有一个很常用的度量方式E(W) = 1/2∑(t - d)^2 ,即所有样例的目标输出与线性单元输出之差平方的和最小。这是关于W的二次函数,大致图像可以表示成这样:
我们现在就是要找这个最小的那个点,在高中我们学过求抛物线的最小值,我们会进行求导,而这个梯度其实就是描述的是向量空间上的变化率。训练线性单元的梯度下降算法如下:
1.3sigmoid单元
线性单元的特点使的多个线性单元的组合产生的是一个线性函数,而如果我们想要表示非线性函数的网络时(现实生活中往往是非线性的),就需要我们的非线性单元sigmoid单元,它和感知器非常的类似,图像如下:
其中x就是线性单元的输出。sigmoid函数有一个很好的性质就是它的导数很容易用它的输出表示:f'(x)=f(x)*[1-f(x)],这个性质将再我们下面的反向传播算法中用到。
第二节 反向传播算法
对于有一系列确定的单元组成的多层网络,反向传播算法可用来学习这个网络的权值,它也是采用梯度下降的方法去最小化误差的平方。由于样例只对网络的输出提供了目标值,所以缺乏直接的目标值来计算隐藏单元的误差值,因此我们可通过如下方式计算:对受隐藏单元h影响的每个单元的误差进行加权求和,这样就刻化出了隐藏单元和输出值的关系。
这是针对只含一个隐秘层的算法:
其中上图的O代表的是sigmoid函数,t代表样例的目标输出。
反向传播算法实现了一种对可能的网络权值空间的梯度下降搜索,而对于多层网络来说,误差的曲面可能包含多个局部极小值(而不是像我们上图那样只有局部最小值就是全局最小值),反向传播算法只能保证收敛到局部最小值,但在现实应用中,人们发现局部最小值得问题并没有那么严重,你可以这样理解:网络的权越多(即维度越高),也就越为梯度下降提供更多的逃逸路线,让梯度下降离开相对该权值的局部最小值。
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