网络流-割的概念以及定理

1. 网络流的割：是网络中顶点的一个划分，把所有顶点划分成两个顶点集合S和T，其中源点s属于S，汇点t属于T，记作CUT（S，T）。

2. 割的割边：如果一条弧的两个顶点一个属于顶点集S一个属于顶点集T，该弧为割CUT（S，T）的一条割边。

3. 从S指向T的割边是正向割边；
从T指向S的割边是逆向割边。

4. 割的容量：所有正向割边的容量和，不同割的容量不同。

5. 最小割通俗概念：网络是水管网络，一个割就相当于是一个恐怖分子把你家和自来水厂之间的水管网络砍断了一些之后，自来水厂无论怎么放水，水都只能从水管断口哗哗流走了，使你家就接受不到水。
所以割的大小应该是恐怖分子应该关心的事，毕竟细管子好割一些嘛，这就是求最小割的问题，即最小割所花的力气最小。

6. 定理一：如果f是网络中的一个流(不必须是最大流)，CUT（S，T）是任意一个割，那么f的值等于该割中的正向割边的流量和与逆向割边的流量和之差。
6.1. 推论1：如果f是网络中的一个流，CUT（S，T）是一个割，那么f的值不超过割CUT（S，T）的容量。
6.2. 推论2：网络中的最大流不超过任何割的容量。
7. 定理二：在任何网络中，如果f是一个流，CUT（S，T）是一个割，且f的值等于该割的容量，那么f是一个最大流，CUT（S，T）是一个最小割（容量最小的割）。
8. 定理三：最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的值等于最小割的容量。

9. 结论1：最小割中，其正向割边的流量一定等于割的容量，且如果存在逆向割边的话，逆向流量为0，否则一定还可以增广。
可以根据下图思考一下(斜线左边为容量，右边为流量)。

假如逆向割边1->2存在一个1的流量，那么破坏的肯定就是S->2这条边的流量，变成4/3，而此时会发现可以对其进行增广。所以上述结论正确。

10. 结论2：最小割中，源点s属于集合S，如果存在一个点i属于S，则所有c[i, j] > f[i, j]或者存在[j, i]且f[j, i] > 0，那么j肯定也属于S(否则不是最小割)。即从源点s出发能找到的含有残留边的点组成集合S，其余的组合成T。其实就是表明最小割中的正向割边的流量都是等于其容量的，然后以此将图割开，形成S和T两个集合。

11. 自己总结+猜测：一个网络中可能存在不止一个最小割，如上图。另外，最大流为什么等于最小割，有一句话概括地非常好：最小割限制了整个网络的流的上界，所以最大流 = 最小割。

参考资料：

https://wenku.baidu.com/view/d9c9b9220722192e4536f6e1.html

http://blog.csdn.net/xzz_hust/article/details/22041173

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