关于两个周期函数的和的周期性的讨论

因为排版和敲数学公式的局限性，很多地方写得并不是非常严格，或者有些跳跃，望海涵。

初衷

想这个问题的初衷是在给同学们习题课的时候（华东师大版的数学分析），里面有一道题，如下：
求下列函数的周期:cos⁡x2+2sin⁡x3\cos \frac{x}{2}+2 \sin \frac{x}{3}cos2x+2sin3x。
这道题本身比较简单，显然 12π12\pi12π 是它的一个周期，如果这里的周期理解为基本周期（最小正周期）的话（有同学发问了），我们还得 check 6π6\pi6π 不是它的一个周期，这也是很容易的，找两个点算一算即可。

那么，作为数学分析课程的学习，我们就不应该满足于此，应该考虑更多一些些？

简单地问，两个周期函数的和是否是周期函数？若是，周期是多少？最小正周期又是多少？

准备工作

定义（可公度）：
对于实数 T1,T2T_1,T_2T1,T2，若存在 m,n∈N,\mathrm{m}_{\mathrm{,}} \mathrm{n} \in \mathrm{N},m,n∈N, 使 T1/T2=m/n\mathrm{T}_{1} / \mathrm{T}_{2}=\mathrm{m} / \mathrm{n}T1/T2=m/n，则称 T1,T2T_1,T_2T1,T2 可公度，否则称为不可公度。

引理
设 T1,T2T_1, T_2T1,T2 是两个不可公度的正数，则存在数偶序列 (mk,nk),k=1,2,3,⋯,\left(m_{k}, n_{k}\right), k=1,2,3, \cdots,(mk,nk),k=1,2,3,⋯, 使得
lim⁡k→∞(mkT1+nkT2)=0\lim _{k \rightarrow \infty}\left(m_{k} T_1+n_{k} T_2\right)=0 k→∞lim(mkT1+nkT2)=0
其中 mk,nkm_{k}, n_{k}mk,nk 都是整数.

证明：
当T1=T2T_1=T_2T1=T2的时候显然，下面不妨假设a0:=T1>T2:=a1a_0:=T_1>T_2:=a_1a0:=T1>T2:=a1。
我们可以用辗转相除法构造一个数列aka_kak，
a0=i1a1+a2a_{0}=i_{1} a_{1}+a_{2}a0=i1a1+a2
a1=i2a2+a3a_{1}=i_{2} a_{2}+a_{3}a1=i2a2+a3
………………
以此类推。易知，这里的 ak→0a_k\rightarrow 0ak→0，并且它可以递推地写成：
ak=mka0+nka1a_k = m_ka_0+n_ka_1 ak=mka0+nka1
的形式。譬如，
a2=a0−i1a1=−i1a+b=m1a+n1ba_{2}=a_{0}-i_{1} a_{1}=-i_{1} a+b=m_{1} a+n_{1} ba2=a0−i1a1=−i1a+b=m1a+n1b
a3=a1−i2a2=(1−i2m1)a−i2n1b=m2a+n2ba_{3}=a_{1}-i_{2} a_{2}=\left(1-i_{2} m_{1}\right) a-i_{2} n_{1} b=m_{2} a+n_{2} ba3=a1−i2a2=(1−i2m1)a−i2n1b=m2a+n2b
………………

证毕。

从这里引理，我们可以隐隐地感觉到，如果一个连续的周期函数的周期可以写成mT1+nT2,∀m,nm_{} T_1+n_{} T_2,\forall m,nmT1+nT2,∀m,n 的形式，那么，这个函数的周期可以任意小，也就是说，它应该要是一个常数函数。

定理和证明

有了以上的一些准备，我们就可以证明一些定理。

定理（和为周期函数的充要条件）：
设 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 是定义在 R\mathbb{R}R 上的连续非常值最小正周期分别为 T1,T2T_1,T_2T1,T2 的周期函数，那么
f+g为周期函数↔T1,T2可公度f+g 为\text{周期函数} \leftrightarrow T_1,T2 \text{可公度}f+g为周期函数↔T1,T2可公度

证明：
充分性是显然的。假设T1=ma,T2=naT_1=ma,T_2=naT1=ma,T2=na，那么 mnamnamna 必然是 f+gf+gf+g 的周期。下证必要性。即证，若T1,T2T_1,T_2T1,T2不可公度，则f+gf+gf+g必不是周期函数。
反证。假设f+gf+gf+g是以TTT为周期的周期函数。
f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)
则，
f(x+T)−f(x)=g(x)−g(x+T)≡φ(x)f(x+T)-f(x)=g(x)-g(x+T) \equiv \varphi(x)f(x+T)−f(x)=g(x)−g(x+T)≡φ(x)
易观察到，φ(x)\varphi(x)φ(x)以T1T_1T1为周期，也以T2T_2T2为周期，那么，它便以mkT1+nkT2≡Tkm_kT_1+n_kT_2\equiv T_kmkT1+nkT2≡Tk为周期。由引理知Tk→0T_k\rightarrow 0Tk→0，又因φ(x)\varphi(x)φ(x)的连续性质，我们知道φ(x)=常数\varphi(x)=常数φ(x)=常数。
进一步，由f(x+T)−f(x)=常数f(x+T)-f(x)=常数f(x+T)−f(x)=常数，若常数≠0常数 \neq 0常数=0 意味fff是个无界函数，这和它是周期函数相矛盾。所以，
f(x+T)−f(x)=g(x)−g(x+T)=0f(x+T)-f(x)=g(x)-g(x+T) =0 f(x+T)−f(x)=g(x)−g(x+T)=0
即fff和ggg必然以TTT为周期。说明T=kT1=lT2T=kT_1=lT_2T=kT1=lT2，这和T1,T2T_1,T_2T1,T2不可公度是矛盾的。得证。

PS:
1、事实上，这里的必要性证明只要fff和ggg中有一个是连续的即可。
2、非常值条件的设定是因为常值函数没太大意义。
3、定义在 R\mathbb{R}R上和连续的假设，是符合常规考虑的。
4、如果没有连续性和周期性的假设，那么有一些更广泛的讨论。可以参考一些书，比如《数学分析中的问题和反例》、《实分析中的反例微积分中的反例》、《吉米多维奇数学分析习题集学习指引》、《数学分析拾遗》（赵显曾著）、裴礼文的习题集等等。还有网上的一些中小学老师写的一些文章（鸟不拉屎错误连连）。
5、事实上，这里的最小正周期这个条件可以换为周期。

定理（周期函数和的最小正周期，m,n>1m,n>1m,n>1）

设 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 是定义在 R\mathbb{R}R 上的连续非常值最小正周期分别为 T1=nα,T2=mαT_1=n\alpha,T_2=m\alphaT1=nα,T2=mα 的周期函数，这里
m,n∈N,m,n>1,(m,n)=1,α是正实数\mathrm{m} ,\mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{m}, \mathrm{n}>1, (\mathrm{m}, \mathrm{n})=1, \alpha \text{是正实数}m,n∈N,m,n>1,(m,n)=1,α是正实数
那么函数 h(x)=f(x)+g(x)\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)h(x)=f(x)+g(x)是周期函数，且最小正周期为mnαmn\alphamnα。

证明：

和为周期函数的充要条件知 hhh 是周期函数，mnαmn\alphamnα 是一个周期，下证其为最小正周期。
只要证最小正周期为mmm的f0(x):=f(αx)f_0(x):= f(\alpha x)f0(x):=f(αx)与最小正周期为nnn的g0(x):=g(αx)g_0(x):=g(\alpha x)g0(x):=g(αx)之和h0(x)h_0(x)h0(x)的最小正周期为mnmnmn即可。

下面用反证。

若mnmnmn不是最小正周期。因为m≠nm\neq nm=n，必然存在a<mna<mna<mn 是 h0(x)h_0(x)h0(x)的最小正周期。那么aaa不可能整除mmm和nnn中的任何一个，否则，不妨假设aaa整除mmm，那么mmm是h0h_0h0的周期，也是g0=h0−f0g_0 = h_0 - f_0g0=h0−f0的周期。则nnn整除mmm，这和题设条件矛盾。
因此，aaa不能整除mmm和nnn，故而aaa不能整除mnmnmn（经网友 axiomofextension 提醒，此处证明有误，故定理结论可能不对，修正定理见下方），这个和aaa是最小正周期且mnmnmn是周期矛盾。
得证。

修正后定理（周期函数和的最小正周期，m,n>1m,n>1m,n>1）
设 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 是定义在 R\mathbb{R}R 上的连续非常值最小正周期分别为 T1=n,T2=mT_1=n,T_2=mT1=n,T2=m 的周期函数，这里
m,n∈N,m,n>1,(m,n)=1\mathrm{m} ,\mathrm{n} \in \mathrm{N}, \mathrm{m}, \mathrm{n}>1, (\mathrm{m}, \mathrm{n})=1m,n∈N,m,n>1,(m,n)=1
且 mmm 和 nnn 中至少有一个不是质数，那么函数 h(x)=f(x)+g(x)\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)h(x)=f(x)+g(x)是周期函数，且最小正周期为mnmnmn。
证明：
不妨假设 qp\frac{q}{p}pq 是最小正周期，且(p,q)=1(p,q)=1(p,q)=1。容易知道 qqq 不能整除 mmm 和 nnn 当中的任意一个。否则，不妨设 qqq 能整除 mmm，那么 mmm 就是 hhh 的周期，从而也是 ggg 的周期，那么 nnn 就能整除 mmm，这个和两者互质矛盾。
进而，我们不妨设 q=m1n1,m=m1m2,n=n1n2q = m_1n_1, m = m_1m_2, n=n_1n_2q=m1n1,m=m1m2,n=n1n2，且 n2>1n_2 >1n2>1。由上结论知，n1n_1n1 不能整除 m2m_2m2，m1m_1m1 也不能整除 n2n_2n2。容易直达，mn1mn_1mn1 是 fff 的周期，也是 hhh 的周期，则它也是 ggg 的周期。所以，n2n_2n2 能整除 mmm，这和 (m,n)=1(m,n)=1(m,n)=1 矛盾。

这里没考虑 α\alphaα，当考虑 α\alphaα 的时候也是类似的。任何一个周期函数可以通过适当的变量替换化为以指定的任一正实数为周期的周期函数。所以，当两个周期函数的周期可通约时不妨设它们的周期都是自然数。

定理（周期函数和的最小正周期，m>1,n=1m>1,n=1m>1,n=1）

设 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 是定义在 R\mathbb{R}R 上的连续非常值最小正周期分别为 T1=nα,T2=mαT_1=n\alpha,T_2=m\alphaT1=nα,T2=mα 的周期函数，这里
m∈N,m>1,n=1,α是正实数\mathrm{m} \in \mathrm{N}, \mathrm{m>1}, \mathrm{n}=1,\alpha \text{是正实数}m∈N,m>1,n=1,α是正实数
那么函数 h(x)=f(x)+g(x)\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+g(x)h(x)=f(x)+g(x)是周期函数，且最小正周期可能为mαm\alphamα或者αmk(k、m互相不整除)\frac{\alpha m}{k}(k、m互相不整除)kαm(k、m互相不整除)。

证明：

只要证最小正周期为mmm的f0(x):=f(αx)f_0(x):= f(\alpha x)f0(x):=f(αx)与最小正周期为111的g0(x):=g(αx)g_0(x):=g(\alpha x)g0(x):=g(αx)之和h0(x)h_0(x)h0(x)的最小正周期只可能为mmm或者mk\frac{m}{k}km即可。

只要证明在k≠1k\neq1k=1的情况下，若mmm整除kkk或者kkk整除mmm，m/km/km/k都不可能是最小正周期即可。

若s1=m/k<ms_1 = m/k<ms1=m/k<m 为整数，那么它是h0h_0h0的周期，也是g0g_0g0的周期，那么它也是f0f_0f0的周期，它和mmm是f0f_0f0的最小正周期矛盾。

若1/s2=m/k1/s_2 = m/k1/s2=m/k ，其中s2s_2s2为整数，那么 1 本是g0g_0g0的周期，现也是h0h_0h0的周期，推得它也是f0f_0f0的周期，它和mmm是f0f_0f0的最小正周期且m>1m>1m>1矛盾。

定理（周期函数和的最小正周期，m=n=1m=n=1m=n=1）

设 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 是定义在 R\mathbb{R}R 上的连续非常值最小正周期分别为 T1=α,T2=αT_1=\alpha,T_2=\alphaT1=α,T2=α 的周期函数，则函数 h(x)=f(x)+g(x)\mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{x})h(x)=f(x)+g(x)的最小正周期为αk\frac{\alpha}{k}kα（kkk为某个确定的自然数，取到无穷说明最小正周期不存在，是常值函数）。

证明：
我们知道α\alphaα是hhh的一个周期，那么，最小正周期必为αk\frac{\alpha}{k}kα（kkk为某个确定的自然数）。kkk和fff和ggg的具体情况有关，无法确定。

举例如下图：

从图上可以看到，这是红蓝两个函数在一个周期内的图像，他们的周期都是 1，但是他们的和的后期就是1/k1/k1/k，图中我的k=5k=5k=5，其实可以等于任意的值。它们和的周期为min⁡{1,∣1k∣}\min\{1,|\frac{1}{k}|\}min{1,∣k1∣}。

我所用的 MATLAB 作图代码为：

clc
clear
k = 5;
T = 1/k;
x = 0:0.001:1;
y0 = sin(2*k*pi.*x);
y1 = y0;
y2 = y0;
y1(x>=0.5) = 0;
y2(x<0.5) = 0;
plot(x,y1,'red',x,y2,'blue','LineWidth',5);
axis([0 1 -2 2]);
h = legend('$f(x)$','$g(x)$');
set(h,'Interpreter','latex')
title('The period of $f(x)$ and $g(x)$ is 1, but the period of $f+g$ is $1/k$','Interpreter','LaTex','FontSize',13)