数字信号处理中各种频率关系
4种频率及其数量关系
实际物理频率表示AD采集物理信号的频率,fs为采样频率,由奈奎斯特采样定理可以知道,fs必须≥信号最高频率的2倍才不会发生信号混叠,因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。
角频率是物理频率的2*pi倍,这个也称模拟频率。
归一化频率是将物理频率按fs归一化之后的结果,最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5,这也就是为什么在matlab的fdtool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。
圆周频率是归一化频率的2*pi倍,这个也称数字频率。
有关FFT频率与实际物理频率的分析
做n个点的FFT,表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析,n点FFT变换的结果仍为n个点。
换句话说,就是将2pi数字频率w分成n份,而整个数字频率w的范围覆盖了从0-2pi*fs的模拟频率范围。这里的fs是采样频率。而我们通常只关心0-pi中的频谱,因为根据奈科斯特定律,只有f=fs/2范围内的信号才是被采样到的有效信号。那么,在w的范围内,得到的频谱肯定是关于n/2对称的。
举例说,如果做了16个点的FFT分析,你原来的模拟信号的最高频率f=32kHz,采样频率是64kHz,n的范围是0,1,2...15。这时,64kHz的模拟频率被分成了16分,每一份是4kHz,这个叫频率分辨率。那么在横坐标中,n=1时对应的f是4kHz, n=2对应的是8kHz, n=15时对应的是60kHz,你的频谱是关于n=8对称的。你只需要关心n=0到7以内的频谱就足够了,因为,原来信号的最高模拟频率是32kHz。
这里可以有两个结论。
- 第一,必须知道原来信号的采样频率fs是多少,才可以知道每个n对应的实际频率是多少,第k个点的实际频率的计算为f(k)=k*(fs/n)
- 第二,你64kHz做了16个点FFT之后,因为频率分辨率是4kHz,如果原来的信号在5kHz或者63kHz有分量,你在频谱上是看不见的,这就表示你越想频谱画得逼真,就必须取越多的点数来做FFT,n就越大,你在时域上就必须取更长的信号样本来做分析。但是无论如何,由于离散采样的原理,你不可能完全准确地画出原来连续时间信号的真实频谱,只能无限接近(就是n无限大的时候),这个就叫做频率泄露。在采样频率fs不变得情况下,频率泄漏可以通过取更多的点来改善,也可以通过做FFT前加窗来改善,这就是另外一个话题了。
离散信号傅里叶变换的周期性讨论
要分析这个,我们先从Laplace变换与Z变换之间的关系谈起。
由,得z平面与s平面的关系图
图中的关系有以下几点:
- s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上
- s平面的负半轴映射到z平面的单位圆内
- s平面的正半轴映射到z平面的单位圆外
Laplace变换是用于连续信号的变换,相对应的z变换是应用到z平面的变换。因此从另一个角度,上面谈到的角频率(模拟频率)对应的是s平面,圆周频率对应的是z平面(也是为什么称为圆周频率的原因)。
现在我们来看一下s平面虚轴上模拟频率的变换将会导致z平面单位圆上如何变化:
- 当模拟频率在s平面的虚轴上从0变到fs 时,数字频率在z平面单位圆上从0变到2 pi。
- 当模拟频率在s平面的虚轴上从2fs变到4fs时,数字频率在z平面单位圆上仍然从0变到2 pi。
- 。。。。。。z平面如此循环重复
我们知道离散信号的傅里叶变换对应到单位圆上的z变换,因此上面的结论就验证了为什么离散信号的傅里叶变换是周期性:根本原因所是单位圆上的周期性。
考虑到我们实际应用中可选择一个周期,这也能够解释:因为实际信号的频率总是在fs/2以下,这就对应到z平面单位圆上的0~pi,在一个周期范围内就可以进行信号分析了。
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