图像处理——振铃现象

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理想低通滤波器在频率域的形状为矩形，那么其傅立叶逆变换在时间域为sinc函数

图像处理中，对一幅图像进行滤波处理，若选用的频域滤波器具有陡峭的变化，则会使滤波图像产生“振铃”，所谓“振铃”，就是指输出图像的灰度剧烈变化处产生的震荡，就好像钟被敲击后产生的空气震荡。如下图：

振铃现象产生的本质原因是:

对于辛格函数sinc而言，经过傅里叶变换之后的函数形式为窗函数（理想低通滤波器）形式，用图像表示如下：

图1.左边为矩形窗函数，右边为辛格函数(将左边的空域换成频域，右边频域换成空域)

因此凡具有接近窗函数的滤波器，IFT之后，其空域函数形式多少接近sinc函数。sinc是进行图像滤波的主要因素，两边的余波将对图像产生振铃现象。

由卷积定理可将下面两种增强联系起来:

频域增强： $G(u,v)=F(u,v)H(u,v)$

空域卷积： $g(x,y)=f(x,g)*h(x,y)$

其中f,g,h分别为输入图像，增强图像，空域滤波函数；F,G,H分别为各自的傅里叶变换。*为卷积符号。

在空间域将低通滤波作为卷积过程来理解的关键是h(x,y)的特性：可将h(x,y)分为两部分：原点处的中心部分，中心周围集中的成周期分布的外围部分。前者决定模糊，后者决定振铃现象。若外围部分有明显的震荡，则g(x,y)会出现振铃。利用傅里叶变换，我们发现，若频域滤波函数具有陡峭变化，则傅里叶逆变换得到的空域滤波函数会在外围出现震荡。

下面给出三个常用的低通滤波器：理想型、巴特沃斯型、高斯型。

并分析他们对用的空域滤波函数的特点，验证上述结论。

理想型： $H(u,v)=\left\{\begin{matrix}1,D(u,v)\leq D_{0} \\ 0,D(u,v)> D_{0} \end{matrix}\right.$

理想型滤波会出现振铃，可以看出空域滤波函数图像外围有剧烈震荡。

巴特沃斯型： $H(u,v)=\frac{1}{1+[D(u,v)/D_{0}]^{2}}$

为阶数，1阶巴特沃斯没有“振铃“，随着阶数增大，振铃现象越发明显。下图取n=2,可以看出空域函数外围部分出现震荡。

高斯型： $H(u,v)=exp(-\frac{D(u,v)^{2}}{2D_{0}^{2}})$

高斯函数的傅里叶变换仍然是高斯函数，故高斯型滤波器不会产生“振铃“。

上述图像的生成程序：

[objc] view plaincopy

close all;
clear all;
d0=8;
M=60;N=60;
c1=floor(M/2);
c2=floor(N/2);
h1=zeros(M,N); %理想型
h2=zeros(M,N); %巴特沃斯型
h3=zeros(M,N); %高斯型
sigma=4;
n=4;%巴特沃斯阶数
for i=1:M
for j=1:N
d=sqrt((i-c1)^2+(j-c2)^2);
if d<=d0
h1(i,j)=1;
else
h1(i,j)=0;
end
h2(i,j)=1/(1+(d/d0)^(2*n));
h3(i,j)=exp(-d^2/(2*sigma^2));
end
end
draw2(h1,'理想');
draw2(h2,'巴特沃斯');
draw2(h3,'高斯');
function draw2(h,name)
figure;
surf(h);title(strcat('频域',name));
fx=abs(ifft2(h));
fx=fftshift(fx);
figure;surf(fx);title(strcat('空域',name));

注：fftshift与ifftshift区别，对偶数行列矩阵相同，奇数相互弥补，组合使之可逆

如何理解振铃效应？ - 知乎 https://www.zhihu.com/question/29861707

图像处理之—振铃现象 - CSDN博客 http://blog.csdn.net/zk_j1994/article/details/53645044

傅立叶变换中的吉布斯现象

吉布斯(Gibbs)现象：将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成。当选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点。当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%。吉布斯现象如下图所示。

图1 吉布斯现象示意图

实际上，吉布斯现象最先并不是吉布斯发现的。科学家阿伯特·米切尔森(Albert Michelson)是第一个获得诺贝尔奖的美国人，他以米切尔森-莫利(Michelson-Morley)实验测量光速而闻名于世。但很多人不知道的是，他才是第一个发现吉布斯现象的人。

图2 米切尔森

图3 吉布斯

1898年，米切尔森(Albert Michelson)做了一个谐波分析仪。该仪器可以计算任何一个周期信号x(t)的傅里叶级数截断后的近似式，其中N 可以算到 80。米切尔森用了很多函数来测试它的仪器，结果都很好。然而当他测试方波信号时，他得到一个重要的，令他吃惊的结果！他于是根据这一结果而怀疑起他的仪器是否有不完善的地方。他将这一问题写一封信给当时著名的数学物理学家吉布斯 (Josiah Gibbs)，吉布斯检查了这一结果，并于1899年在《自然》杂志上发表了他的看法。

　　若用x(t)表示原始信号，xN(t)表示有限项傅立叶级数合成所得的信号，米切尔森所观察到的有趣的现象是方波的xN(t)在不连续点附近部分呈现起伏，这个起伏的峰值大小似乎不随 N 增大而下降!吉布斯证明：情况确实是这样，而且也应该是这样。随着N 增加，部分和的起伏就向不连续点压缩，但是对任何有限的 N 值，起伏的峰值大小保持不变，这就是吉布斯现象。

　　这个现象的含义是：一个不连续信号 x(t) 的傅里叶级数的截断近似 xN(t)，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量，而且，若在实际情况下利用这样一个近似式的话，就应该选择足够大的 N ，以保证这些起伏拥有的总能量可以忽略。当然，在极限情况下，近似误差的能量是零，而且一个不连续的信号(如方波)的傅里叶级数表示是收敛的。

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