运筹优化(二)--线性规划概念及应用模型
一、解决问题
线性规划问题是在一组线性约束下,求线性目标函数的最大最小值的问题。
二、数学模型
1、一般数学模型
2、矩阵表示
其中c,x都是列向量,A,Aeq是一个合适的矩阵,b,beq是合适的列向量。然后lb和ub是下限和上限(但是请注意lb是一个变量的名字)。
注意:这里针对变量类型约束增加上下限的约束,其目的在于减少主要约束Ax=b中的行数,从而简化计算。本质上,跟标准的非负类型约束一致。
实际碰到各种线性规划问题的数学模型都应变换为标准型式后求解。
以下讨论如何变换为标准型的问题。
(1 ) 若要求目标函数实现最小化, 即 min z = CX。这时只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化 , 即令z′= -z , 于是得到max z′= -CX。 这就同标准型的目标函数的形式一致了。
(2) 约束方程为不等式。这里有两种情况: 一种是约束方程为“≤”不等式, 则可在 “≤”不等式的左端加入非负松弛变量, 把原“≤”不等式变为等式; 另一种是约束方程为 “ ≥ ”不等式 , 则可在“ ≥ ”不等式的左端减去一个非负剩余变量 (也可称松弛变量), 把不等式约束条件变为等式约束条件。
(3) 若存在取值无约束的变量xk ,可令xk = x′k - x′′k ,其中 x′k , x′′k ≥0。
线性规划问题的解的概念
在讨论线性规划问题的求解前, 先要了解线性规划问题的解的概念。我们针对线性规划的一般数学模型来说明:
1. 可行解
满足约束条件的解X=(x1 ,x2 ,⋯,xn)T ,称为线性规划问题的可行解 , 其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
2. 基
设 A是约束方程组的 m×n维系数矩阵,其秩为 m。B是矩阵 A中 m×m阶非奇异子矩阵( | B| ≠0) ,则称B是线性规划问题的一个基。这就是说, 矩阵B是由 m个线性独立的列向量组成。为不失一般性 , 可设:
称 Pj (j=1,2,⋯,m)为基向量,与基向量 Pj 相应的变量 xj (j=1,2,⋯,m)为基变量,否则称为非基变量 , 为了进一步讨论线性规划问题的 解, 下面研究约束方程组(1-5 ) 的 求 解 问题。假设该方程组系数矩阵 A 的秩为 m , 因 m < n, 故它有无穷多个解。假设前 m 个变 量的系数列向量是线性独立的。这时(1 -5)式可写成:
设 XB 是对应于这个基的基变量:XB =(x1,x2,⋯,xm)T ,
现若令上式的非基变量 xm + 1 = xm + 2 = ⋯ = xn = 0, 这时变量的个数等于线性方程的个数。用高斯消去法 , 求出一个解:
X=(x1 ,x2 ,⋯,xm ,0,⋯,0)T
该解的非零分量的数目不大于方程个数 m, 称 X 为基解。由此可见 , 有一个基 , 就可以求出一个基解。
3. 基可行解
同时满足非负条件的可行解和基解的解,称为基可行解。
4. 可行基
对应于基可行解的基 , 称为可行基。约束方程组(1-5)具有基解的数目最多是 Cnm (组合)个。一般基可行解的数目要小于基解的数目。以上提到 的几种解的概念, 它们之间的关系可用下图表明。另外还要说明一点 , 基解中的非零分量的个数小于m 个时, 该基解是退化解。在以下讨论 时 , 假设不出现退化的 情况。以上给出了线性规划问题的解的概念和定义 , 它们将有助于用来分析线性规划问题的求解过程。
三、相关方程解法
1、图解法,画出可行域,这个可以进行编程进行实现、
2、直接使用MATLAB的相关方法进行解题、
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,Xo,OPTIONS)
其中fval返回的是目标函数的值,然后x则是返回取到fval时x的对应的值,然后LB和UB是对应x的上界和下界(可以省略),x0是x的初始值(暂时可以忽略)
OPTIONS是控制参数。
其他还有专门的线性规划求解算法,后面单独介绍。
四、一些其他问题转换成线性规划
1、绝对值之和最小
在这里我们就可以令,就可以满足,这样子这个问题就变成了
2、两个数的差的绝对值,在xi固定时,取得max,之后在去定yi
我们取,就可以转换问题了
五、一些线性规划可以解决的实际问题
1、生产力有限,要求取得最大收益,更一般性的说法,是资源分配模型,用来解决在资源有限的情况下,如何将资源分配给彼此竞争的需求,从而实现资源的优化配置。
2、运输问题(产销问题)
要求运输费用最小
在这里需要记得有一个很重要的等式,就是所有产地送出去的等于所有销售地收到的
3、指派问题
要求花费的工作时间要最短
(2)求解指派问题的匈牙利算法、
首先我们要知道对与系数矩阵C由这样的性质,同时对每一行(列)加上或者减去同样的一个数,得到的新矩阵和原矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
一般步骤是:
a、每行每列消除最小的数字,使得出现能够出现N(与矩阵大小相同)个位于不同行不同列的零元素,选定就是最优解。
b、如果上一步骤没办法直接完成,则、
4、对偶理论(与反函数相比较)
最重要的是掌握其性质,可以用来检验是不是最优解、、
5、投资的收益和风险(主要多目标函数如何并成一个目标函数)
下一步主要是设立变量(这是数学建模中一步很关键的地方,你指标选的好,方程就好列好解,否则。。。。)
之后就是加入限定,一些理想化的假设
然后写出方程
其中第一个目标函数为收益,第二个为风险。
下一步就是化简目标函数
(1)固定风险水平,优化收益
(2)固定盈利水平,极小化风险
(3)同时考虑两个,这样的话需要加入一个权重s。
6.混料模型
资源分配模型是将各种资源分配给不同的需求,混料模型是把零散的资源整合起来,简而言之,混料模型解决的是决策各种成分的组合以最好的满足生产的需要。
7.运营规划模型
用以决策生产工作的安排以有效的使用可用资源。
8.排班和人员规划模型
在工作量给定的前提下,我们需要规划完成这些工作的资源投入,特别的,我们必须决定不同类型的员工人数和排班数量,以保证完成所有的工作量。
9.多阶段模型
用来建模动态的,随时间变化的,或者多个时间段执行的。
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