引子

光波波前误差是影响发射激光束的质量或光学成像质量最主要的因素，但在自适应光学系统中，一般不能直接获得光波波前误差的数据以进行校正，而只能测得离散的波前斜率或离焦面上的光强分布，这就需要从上述离散数据中恢复出连续的波前形状。

同时，测得的波前数据中，通常还包含有测量误差，也需要利用波前上全部数据来平滑个别测量点的误差。

这两方面的工作，都属于波前重构的内容。

——周仁忠. 自适应光学[M]. 国防工业出版社, 1996: 180-181.

介绍：

通过相位解算技术配合系统标定得到一系列光线经过透镜后发生偏折的点的位置和该位置处的波前斜率，要从波前斜率重建波前，需要对波前斜率进行积分。

波前梯度（斜率）测量不可避免地受到随机噪声的干扰，这是光的量子性和探测过程中电子的添加所致。由于波前上任意两点之间存在多条梯度（斜率）路径，因此没有唯一的波前精确满足所有测量的梯度，需要采用统计解。标准通常是最小化重建波前和单个梯度测量之间的均方误差。

分类：

1、局部积分法：

具有较强的细节保持能力，但数据中的误差对积分结果影响较大，通常应用于计算矩形分布的数据。

十字路径积分法

[1] Jr E N C, Jain R. Obtaining 3-dimensional shape of textured and specular surfaces using four-source photometry[J]. Computer Graphics & Image Processing, 1982, 18(4):309-328.

[2] Healey G, Jain R. Depth recovery from surface normals[C]// International Conference on Pattern Recognition. 1984.

2、全局积分法：

相对局部积分法受噪声影响更小，可以处理矩形和圆形区域的数据，但相对地
全局积分法对局部细节保持能力较差，在拟合球面、非球面等传统回转对称曲面
时有较高的拟合精度，但对非回转对称、面形变化较大的曲面，如自由曲面，拟
合精度较低。

区域波前重建法

[1] Hudgin R H. Wave-front reconstruction for compensated imaging[J]. Journal of the Optical Society of America (1917-1983), 1977, 67(3):375-378.

[2] Fried D L. Least-square fitting a wave-front distortion estimate to an array of phase-difference measurements[J]. Journal of the Optical Society of America, 1977, 67(3):370-375.
[3] Southwell W H. Wave-front estimation from wave-front slope measurements[J]. Journal of the Optical Society of America, 1980, 70(8):998-1006.

傅里叶变换积分法

Roddier F, Roddier C. Wavefront reconstruction using iterative Fourier transforms[J]. Applied Optics, 1991, 30(11):1325-7.

模式法

周仁忠．自适应光学[M]．国防工业出版社，1996：180-181．

3、局部+全局结合：

既保持了局部的细节，又有较高的拟合精度。

泊松重建法

[1] Michael Kazhdan, Matthew Bolitho, Hugues Hoppe. Poisson surface reconstruction[C]. Symposium on Geometry Processing 2006, 61-70.

[2] Agrawal A, Chellappa R, Raskar R. An algebraic approach to surface reconstruction from gradient fields[C]// Tenth IEEE International Conference on Computer Vision. IEEE Computer Society, 2005:174-181.

[3] Agrawal A, Raskar R, Chellappa R. What is the range of surface reconstructions from a gradient field?[J]. Computer Vision–ECCV 2006, 2006: 578-591.

[4] 张凯. 基于泊松方程的三维表面重建算法的研究[D]. 天津：河北工业大学，2013.

波前重构技术详解

1、区域法——基于Southwell模型

根据波前斜率数据与待重建高度相对位置的不同，区域波前重建法分为三种模型，分别是Hudge型、Fried型和Southwell型，这里重点介绍Southwell型。如图：

图中黑点所在位置为待重建波前的位置，十字方向箭头表示x、y方向的波前斜率，Southwell 构型中待重建点位置与测量得到的波前斜率位置一致。波前斜率与子孔径中心处的期望波前值相关时，需要采用间接计算路线。必须首先将Southwell配置中的波前斜率数据转换为Hudgin配置，如图所示：

连接两个节点的斜率（梯度）是在以这些节点为中心的区域中测量的两个梯度的平均值：

其中，Sx和Sy是代表局部波前斜率的标量，m和n是子孔径的序号。在Hudgin配置下（上式和Hudgin的公式联合），得到斜率可以直接与采样波前关系：

其中，Φ为待重构波前相位。如果我们把它的极限设为d，当d接近零时，它就变成了导数的标准定义。

因此，对于N×N 微透镜阵列构成的网格，ds分隔的两个相邻相位值之差可以表示为：

表示平均斜率等于相邻待测波前相位点差值与采样间隔之比。

上式记作：

$\textbf{Cs = E}\Phi$

其中，C为系数矩阵，s为波前探测器测得的斜率向量，E为系数矩阵， $\Phi$ 为待重构的波前相位；
该式可通过迭代法进行求解，进而求出波前相位 $\Phi$ 。

连续区间 V.S. 离散空间比较：

以3*3的子透镜为例，对其展开解释，用迭代法重构波前相位：

改成矩阵形式：

可以注意到矩阵C中的非零元素只有0.5，矩阵E中非零元素只有1、-1。

2、泊松重建法

太勾八复杂了，数学基础不行，看不懂。等我去好好学学，之后新开一篇专门来讲。

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结构光学习 | 波前重构技术

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1、局部积分法：

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1、区域法——基于Southwell模型

2、泊松重建法

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