算法和刷题—

1. 二分法

基本问题：根据给出的target，找有序数列中和target相关的某个位置，可以是找target在数组中的index，target开始出现、结束出现的位置
基本思想：先确定待查数据的范围(排除了一些不可能的范围)，将大区间划分为了可能出现和不可能出现两个小区间，直到区间位空或区间足够小

1. 整数二分

有序连续数列查找位置，不一定是数组表示的

1. 最基本的二分法

【问题描述】：给出有序整型数组nums和整型target，寻找target在数组中出现的位置，若找不到则返回-1

public int binarySearch(int[] nums,int target){int left = 0;int right = nums.length-1;             //【1】while(left <= right){                  //【2】int mid = left + (right-left) / 2;if(target == nums[mid]){return mid;                    //【3】}else if(target < nums[mid]){right = mid - 1;               //【4.1】}else{left = mid + 1;                   //【4.2】}}return -1;                             //【5】}

代码中可变得地方有四个
【1】初始left和right的赋值、【2】while的终止条件、【3】找到nums[mid] = target时的赋值、【4】循环中取左右区间时边界赋值、【5】返回值

2. 初始和循环中涉及到的区间相关问题【1】【2】【4】

每次探测的区间可以是[left , right]的闭区间或是[left , right)的左闭右开区间及其他
【1】left、right的写法：应该保证数组不会越界(以right为例)。
【2】while的写法：应该保证区间为空时终止循环。
【4】循环中边界更新：应该保证mid不出现再下一次循环中也就是不在下一个半区间里。

2.1 闭区间

【1】：right = nums.length, 则index有可能取到nums.length 然而不存在nums[nums.length]这一项，所以是right = nums.length - 1;
【2】：while(left <= right)，因为left > right时[left , right]区间为空，结束while循环
【4】：left = mid + 1;right = mid - 1;

2.2 左闭右开

【1】：可以写right = nums.length，因为右边界是开的所以不会取到nums[nums.length]这一项，不会有越界问题
【2】：while(left > right)，因为left = right时，[left , right)]区间为空，结束while循环
【4】：left = mid + 1;right = mid;，下一轮right = mid时，取左区间实际上是[left , oldmid)不包含上一轮的mid

3. 返回值的问题【3】【5】

1. 找到target时返回其index，否则返回-1

【3】return mid;
【5】return -1;

2. 找到target时返回其index，否则找target可以插入的位置

若数列无重复元素，找到target直接返回index。未找到target时就有两种选择：返回小于target的最大值的index，则target可以插入到index的下一个；返回大于target的最小值的index，则target可以插入到index的上一个。对应于之后所说的边界左侧或右侧。
若数列有重复元素，则找到target时返回index就可以有很多选择，比如返回小于target的最大值的index，则target可以插入到index的下一个，返回第一次出现target的index，则target插入index的上一个；返回大于target的最小值的index，则target可以插入到index的上一个，返回最后一次出现target的index，则target可以插入index的下一个。未找到target时和无重复元素数列一样有两个返回选择即边界左侧或右侧。

1. 序列中有重复元素

按target值大小可以对序列有两种划分，此处target=4

1 2 3 | 4 4 4 4 5 6 7
可以用来找小于target的最大值即分界线左边或第一次出现target的位置即分界线右侧
1 2 3 4 4 4 4 | 5 6 7
可以用来找大于target的最小值即分界线右边或最后一次出现target的位置即分界线左侧
即有两种划分方式每种划分方式，每种方式都可以返回边界线左侧或右侧的位置，从而得到和target相关的各个位置

划分方式和边界线在代码中的体现：

划分方式：由【3】nums[mid] = target时更新左边界还是更新右边界决定。若更新右边界则相当于取了左半边，分界线逐渐左移最终得到靠左划分的方式也就是第一种划分；若更新左边界则相当于取了右半边，分界线逐渐右移得到靠右划分的也就是第二种划分。
取边界线的左侧or右侧：看【2】while终止时left和right值决定【5】返回值.
- 若是闭区间，while终止时left > right也就是left= right+1;left在right右边一个位置，分界线在left和right之间。所以取分界线左侧的则返回right或者left-1.取分界线右侧的则返回left或者right+1；为了记忆方便可以只选返回left某个形式。
- 若是开区间while终止时left = right(见2.2).分界线没办法在left和right之间
  - 如果是第一种划分也就是nums[mid] = target时更新右边界的不断向左收缩的情况，left = right在分界线右边。取分界线左侧的则返回left - 1，取分界线右侧的则返回left；
  - 如果是第二种划分也就是nums[mid] = target时更新左边界不断向右收缩的情况，此时left = right在分界线右边。取分界线左侧时返回left-1，取分界线右侧时返回left；

主要是看while终止时left和right的值的关系，while终止时分界线在哪里
闭区间：left = right + 1，分界线在两者中间
开区间：left = right，向左收缩分界线更左，向右收缩分界线更右
可以写一个方法同时具有搜索左边界和右边界的功能，即设置一个boolean lower参数，true时搜索左边界，false时搜索右边界
搜索左边界即不断向左收缩：不仅nums[mid] > target需要更新右边界，nums[mid] = target时也要更新右边界，所以lower = true时可以把这两种情况合并，同时可以和搜索右边界时nums[mid] > target的情况继续合并。其他情况都会更新右边界
lico_34 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

//此处是闭区间，返回向左收缩或向右收缩的边界线的右侧，所以向右收缩找最后一个位置时注意最终的结果应该-1
public int binarySearch(int[] nums, int target, boolean lower) {int left = 0, right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (nums[mid] > target || (lower && nums[mid] >= target)) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}}return left;                          }

2. 序列中没有重复元素

按target的值划分序列可以将序列划分为两部分，分界线左边严格＜target，分界线右边严格＞target，此处target=4

1 2 3 | 5 6 7 8.即只有唯一的划分方式，则向左收缩和向右收缩都正确，在代码中对应【3】nums[mid] = target时更新左边界或更新右边界都对。
取边界线左侧or边界线右侧，和有重复元素时的讨论是一样的，代码改动相同。

4. 一些注意

按照上面讨论对于分界线在数组首位的情况，返回的index可能是0也可能返回的是-1，可能是nums.length - 1也可能是nums.length，如果后面还用这个结果就需要根据自己写的代码特别注意
在计算mid的值时，如果使用位移运算代替除法，要注意运算顺序的为题
- /2是向零取整(有截断所以负数截断后变大了，右移一位是向下取整所以负数且是奇数时右移和/2不等价)
- 加法和右移运算同级，但是由于左结合所以要给右移运算加括号
  int mid = left + ((right - left) >> 1);

2. 小数二分

【2】 while终止条件：区间长度低于精度时结束
【4】更换区间：取左区间：right = mid；取右区间：left=mid；
【5】返回值 left和right都可以

final double eps = 1e-8;//保留6位小数
double binarySearch(double left, double right){while(right - left > eps){double mid = (left + hight) / 2;if(f(mid) > target){right = mid;}else{left = mid;}}return left;
}

3. 一些二分的练习题

见leetcode官网的二分查找题单hhh……

1. 使用二分思想的

1. lico_4 寻找两个正序数组的中位数

lico_4 寻找两个正序数组的中位数
利用的不断排除不可能区域，继续在可能区域中寻找的思想
相当于找两个数组{A,B}中第k(中位数在排序中的位置，根据两数组的总数分奇偶情况可以计算出来k值)个小的数，比较两个数组各自第[k/2-1]个数（这两个数之前的数各自有k/2-1个数），对A[k/2-1]和B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有 A中的(k/2-1)+B中的(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，所以两个之中较小的数不可能是{A,B}中第k个小的数。这样每次能排除k/2个数

2. 剑指_4 二维数组查找

剑指_4 二维数组查找
二分法用于有序数列，是每次比较mid和target，看是往mid左边小区间走还是mid右边小区间走
对于二维数组每个维度上都是有序数列，也就是行、列方向上都可以往小走或往大走，就有4个方向，但是二维数组也是有边界的，对于边界上的点并不是4个方向都可以，要保证起始时查看的位置既有小于他的又有大于他的，起始位置就相当于二分查找中的最初的mid
所以查找的起始点在右上角或左下角，右上角时往左走变小，往下走变大