0X01 ——位运算

一：

“与”运算： &；

“或”运算： |；

“非”运算： ~；

“异或”运算：^;

二：补码

（1）32位无符号整数：unsigned int ; 0 ~ 4294967295;

（2）32位有符号整数：int; -2147483648 ~ 2147483647；在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

具体请见：

https://blog.csdn.net/zl10086111/article/details/80907428?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522164983986716780269813706%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=164983986716780269813706&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-1-80907428.142^v7^control,157^v4^control&utm_term=%E8%A1%A5%E7%A0%81&spm=1018.2226.3001.4187s

三：移位运算；

（1）左移：

把左移运算符(<<)左边的运算数的各二进制位全部左移若干位，移动的位数由左移运算符右边的数指定，高位舍掉，低位补0。

（2）右移：

把右移运算符(>>)左边的运算数的各二进制位全部右移若干位，移动的位数由右移运算符右边的数指定;

对于有符号数，在右移时，符号位将随同移动：

当有符号数为正数时，最高位补0

当有符号数为负数时，最高位也就是符号位为1，最高位补0或者补1，取决于编译系统。（很多系统规定为补1）。

通俗理解：

左移将原数乘以2
右移将原数除以2

举例：

a. 原数： 100
整型是4字节32位，将100以整型的二进制表示
二进制： 00000000 00000000 00000000 01100100

100 >> 2
二进制： 00000000 00000000 00000000 00011001 | 00
解释： | 后面被剔除，前面缺少的两个补0
结果： 25
右移两位相当于除以2，再除以2，结果为25

100 << 2
二进制： 00 | 00000000 00000000 00000001 100100 00
解释： | 前面被剔除，后面缺少的两个补0
结果： 400
左移两位相当于乘以2，再乘以2，结果为400

b. 原数： 75
二进制： 00000000 00000000 00000000 01001011

75 << 25
二进制： 00000000 00000000 00000000 0 | 10010110 00000000 00000000 00000000
解释： | 前面被剔除，后面缺少补0
结果： -1778384896
——这里应当要知道的一点，最高位是符号位，75的最高位为0表示为正数，左移9位后最高位位1表示为负数

觉得理解了，可以尝试一下下面这道题；

求 a 的 b 次方对 p 取模的值。

输入格式

三个整数 a,b,p ,在同一行用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，表示a^b mod p的值。

数据范围

0≤a,b≤10^9
1≤p≤10^9

输入样例：

3 2 7

输出样例：

解题思路：

（1）b可用二进制表示为：

所以：

（2）

b & 1运算可以取出b在二进制表示下的最低位，而b >> 1运算可以舍去最低位。

AC代码：


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;int main()
{long long a, b, p;cin >> a >> b >> p;long long ans = 1 % p;for(; b ; b >>= 1){if(b & 1) ans = ans * a % p;a = a * a % p;}cout << ans << endl;return 0;
}

还可以尝试一下acwing 90.

四：二进制状态压缩

具体可以参考acwing 91.

给定一张 n 个点的带权无向图，点从0∼n−1 标号，求起点 0 到终点 n−1 的最短 Hamilton 路径。

Hamilton 路径的定义是从 0 到 n−1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式

第一行输入整数 n。

接下来 n 行每行 n 个整数，其中第 i 行第 j 个整数表示点 i 到 j 的距离（记为 a[i,j]）。

对于任意的 x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。

输出格式

输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围

1≤n≤20
0≤a[i,j]≤10^7

输入样例：

输出样例：

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 20;int n;
int a[N][N];
int f[1 << N][N];
int main()
{cin >> n;for(int i = 0; i < n; i ++ ){for(int j = 0; j < n; j ++ ){cin >> a[i][j];}}memset(f, 0x3f, sizeof f);f[1][0] = 0;//终点是jfor(int i = 1; i < 1 << n; i ++ ){for(int j = 0; j < n;  j ++ ){if(i >> j & 1){for(int k = 0; k < n; k ++ )/*上一种情况，又因为 j 只能恰好经过一次，所以一定是刚刚经过的，所以在上一时刻“被经过点的状态”对应的二进制的第 j 为应该赋值为 0 ，即 i ^ (1 << j)*/{ if((i ^ 1 << j) >> k & 1){f[i][j] = min(f[i][j], f[i ^ 1 << j][k] + a[k][j]);}}}}}cout << f[(1 << n) - 1][n - 1];return 0;
}

五：成对变换

对于非负整数 n :

当 n 为偶数时，n ^ 1 等于 n + 1;

当 n 为奇数时，n ^ 1 等于 n - 1;

因此，“0 与1” “2 与3” “4与5” 。。。关于 ^ 1 运算构成“成对变换”。

六：lowbit运算

可以理解为：返回 x 的最后一位1；

应用：统计一下 x 里面 1 的个数

lowbit(n) = n & (~ n + 1) = n & ( - n)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int lowbit(int x)
{return x & (-x);
}int main()
{int x;cin >> x;int res = 0;while(x){res ++;x -= lowbit(x);}cout << res << endl;return 0;
}

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