《凸优化》7 学习笔记

学习了一下中科大凌青老师的凸优化视频.做一点笔记.

例：线性矩阵不等式LMI.

A(X)=∑i=1kXiAi⪯B,A(X)=∑i=1kXiAi⪯B,

A(X)=\sum_{i=1}^{k}{X_iA_i}\preceq B,其中，对所有的 i∈[1,k]i∈[1,k]i\in {[1,k]}有 B,Ai,Xi∈SmB,Ai,Xi∈SmB,A_i,X_i\in S^m. SmSmS^m指的是一切长宽都为 mmm的对称矩阵的集合.
且

A(X)⪯B" role="presentation">A(X)⪯BA(X)⪯B

A(X)\preceq B意味着 B−A(X)⪰0B−A(X)⪰0B-A(X)\succeq 0,就是说 B−A(X)B−A(X)B-A(X)是个半正定矩阵.

求证: {X|A(X)⪯B}{X|A(X)⪯B}\{X|A(X)\preceq B\}是凸集.
为了证明这个性质，我们需要先证明：1.对凸集进行仿射变换（就是线性变换），得到集合的仍然是凸集。2.所有半正定矩阵的集合Sm+S+mS^m_+是个凸集.
这两个证明比较简单，这里不说了。

先说明一下函数的”广播”. 有一个简单的函数:g(x)=x2g(x)=x2g(x)=x^2. 设CCC是一个集合. 约定: g(C)={g(x)|x∈C}" role="presentation">g(C)={g(x)|x∈C}g(C)={g(x)|x∈C}g(C)=\{g(x)|x\in C\}.

接下来开始证明.
定义仿射变换f(x)=B−A(X)f(x)=B−A(X)f(x)=B-A(X).

f({X|B−A(X)⪰0})=f(X|f(X)⪰0)={f(P)|P∈{X|f(X)⪰0}}={f(P)|f(P)⪰0}={X|X⪰0}=Sm+(使用f)(广播)(消解)(消解)(332)(使用f)f({X|B−A(X)⪰0})=f(X|f(X)⪰0)(广播)={f(P)|P∈{X|f(X)⪰0}}(消解)={f(P)|f(P)⪰0}(消解)={X|X⪰0}(332)=S+m

\begin{align} f(\{X|B-A(X)\succeq 0\})&=f({X|f(X)\succeq 0}) \tag{使用$f$} \\ &=\{f(P)|P\in\{X|f(X)\succeq 0\}\} \tag{广播}\\ &=\{f(P)|f(P)\succeq 0\} \tag{消解}\\ &=\{X|X\succeq 0\}\tag{消解}\\ &=S^m_+ \end{align}

那么，fff的逆变换f−1" role="presentation">f−1f−1f^{-1}就满足:

f−1(Sm+)={X|B−A(X)⪰0}.(333)(333)f−1(S+m)={X|B−A(X)⪰0}.

\begin{align} f^{-1}(S^m_+)=\{X|B-A(X)\succeq 0\}. \end{align}
因为 fff是个仿射变换,f−1" role="presentation">f−1f−1f^{-1}也应是个仿射变换.对凸集 Sm+S+mS^m_+进行的仿射变换得到了 {X|B−A(X)⪰0}{X|B−A(X)⪰0}\{X|B-A(X)\succeq 0\},它也是个凸集.

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