CCF201703-4 地铁修建（100分）【Kruskal算法+二分+最短路】

试题编号： 201703-4
试题名称：地铁修建
时间限制： 1.0s
内存限制： 256.0MB
问题描述：

问题描述
　　A市有n个交通枢纽，其中1号和n号非常重要，为了加强运输能力，A市决定在1号到n号枢纽间修建一条地铁。
　　地铁由很多段隧道组成，每段隧道连接两个交通枢纽。经过勘探，有m段隧道作为候选，两个交通枢纽之间最多只有一条候选的隧道，没有隧道两端连接着同一个交通枢纽。
　　现在有n家隧道施工的公司，每段候选的隧道只能由一个公司施工，每家公司施工需要的天数一致。而每家公司最多只能修建一条候选隧道。所有公司同时开始施工。
　　作为项目负责人，你获得了候选隧道的信息，现在你可以按自己的想法选择一部分隧道进行施工，请问修建整条地铁最少需要多少天。
输入格式
　　输入的第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，分别表示交通枢纽的数量和候选隧道的数量。
　　第2行到第m+1行，每行包含三个整数a, b, c，表示枢纽a和枢纽b之间可以修建一条隧道，需要的时间为c天。
输出格式
　　输出一个整数，修建整条地铁线路最少需要的天数。
样例输入
6 6
1 2 4
2 3 4
3 6 7
1 4 2
4 5 5
5 6 6
样例输出
6
样例说明
　　可以修建的线路有两种。
　　第一种经过的枢纽依次为1, 2, 3, 6，所需要的时间分别是4, 4, 7，则整条地铁线需要7天修完；
　　第二种经过的枢纽依次为1, 4, 5, 6，所需要的时间分别是2, 5, 6，则整条地铁线需要6天修完。
　　第二种方案所用的天数更少。
评测用例规模与约定
　　对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 20；
　　对于40%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 1000；
　　对于60%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 10000，1 ≤ c ≤ 1000；
　　对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000；
　　对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100000，1 ≤ m ≤ 200000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000000。

所有评测用例保证在所有候选隧道都修通时1号枢纽可以通过隧道到达其他所有枢纽。

问题链接：CCF201703-4 地铁修建
问题简述：（略）
问题分析：
如果1到n存在一条最短路径，那么这条路径上权重最大的边即为答案。因为每一段隧道都可以并行修建。
这个题用最小生成树来解决，使用Kruskal算法，在构建最小生成树过程中，如果1和n已经连通，则取其最大边即可。考虑到最小生成树的生成过程，一旦1和n连通，那么最后使得1和n连通的那条边权重最大。因为是最小生成树，则1和n之间不可能有更短的路径（有的话，就不是最小生成树了，矛盾），所以那条权重最大边即为解。
这个题用最短距离算法来解应该是正解。
还有一种做法是用二分实现，代码改自某网友的，有点奇怪。好在数据范围比较小，不然估计会超时。
程序说明：（略）
参考链接：（略）
题记：（略）

100分的C++语言程序（Kruskal算法）如下：

/* CCF201703-4 地铁修建 */#include <bits/stdc++.h>using namespace std;/* 并查集 */
const int N = 100000;
int f[N + 1], fcnt;
void UFInit(int n) {for(int i = 0; i <= n; i++) f[i] = i; fcnt = n;}
int Find(int a) {return a == f[a] ? a : f[a] = Find(f[a]);}
int Union(int a, int b) {if ((a = Find(a)) != (b = Find(b))) {f[a] = b, fcnt--; return 1;} else return 0;}const int M = 200000;
struct Edge {int u, v, w;bool operator< (const Edge & u) const {return w<u.w;}
} e[M];int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);int n, m;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++)cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;/* 初始化并查集 */UFInit(n);/* Kruskal算法 */sort(e, e + m);int ans = 0;for (int i = 0; i < m; i++) {if (Union(e[i].u, e[i].v))ans = e[i].w;if (Find(1) == Find(n)) break;}/* 输出结果 */cout << ans << endl;return 0;
}

100分的C++语言程序（二分+BFS）如下：

/* CCF201703-4 地铁修建 */#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 100000;
struct Edge
{int v, w;Edge(int v1, int w1) {v = v1; w = w1;}
};
vector<Edge> g[N + 1];
int n, vis[N + 1];int judge(int maxw)
{memset(vis, 0, sizeof vis);queue<int> q;q.push(1);while (!q.empty()) {int t = q.front();q.pop();if (t == n) return 1;else {for (int i = 0; i < (int)g[t].size(); i++) {int v = g[t][i].v;int w = g[t][i].w;if (w <= maxw && !vis[v]) {q.push(v);vis[v] = 1;}}}}return 0;
}int main()
{std::ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);int m, maxw = 0;cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;g[u].push_back(Edge(v, w));g[v].push_back(Edge(u, w));maxw = max(maxw, w);}int left = 1, right = maxw;while ( left < right) {int mid = (left + right) >> 1;if (judge(mid)) right = mid;else left = mid + 1;}cout << left << endl;return 0;
}

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