朴素贝叶斯与垃圾邮件分类

垃圾邮件识别问题，也即对给定样本（包含垃圾邮件，非垃圾邮件）判断是否为垃圾邮件，根据贝叶斯定理：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪p(y=1|x)=p(y=1,x)p(x)p(y=0|x)=p(y=0,x)p(x)⇒p(y=1|x)p(y=0|x)=p(y=1,x)p(y=0,x)=p(y=1)p(x|y=1)p(y=0)p(x|y=0)

\left\{ \begin{split} p(y=1|x)=\frac{p(y=1,x)}{p(x)}\\ p(y=0|x)=\frac{p(y=0,x)}{p(x)} \end{split}⇒ \frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}=\frac{p(y=1,x)}{p(y=0,x)}=\frac{p(y=1)p(x|y=1)}{p(y=0)p(x|y=0)} \right.

然后根据朴素贝叶斯的属性间的独立性假设可进一步分解为：

p(y=1|x)p(y=0|x)=p(y=1)∏ip(xi|y=1)p(y=0)∏ip(xi|y=0)

\frac{p(y=1|x)}{p(y=0|x)}=\frac{p(y=1)\prod_{i}p(x_i|y=1)}{p(y=0)\prod_i p(x_i|y=0)}

对 p(xi|y=1)p(x_i|y=1) 根据贝叶斯公式，又可得：

p(xi|y=1)=p(xi,y=1)p(y=1)

p(x_i|y=1)=\frac{p(x_i,y=1)}{p(y=1)}

便可将全部不易计算的概率转化为容易计算的形式。

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