一.数字滤波器的基本概念

1.数字滤波器基本功能
数字滤波器（digital filter）主要功能是滤波，对某些频段信号加以放大，而将一些频段信号加以抑制。它既可以对数字信号进行处理，如果加上模-数转换器，也能对模拟信号进行处理。
2.数字滤波器类型
按冲激响应分：无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器，有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器。
按幅度响应分：低通，高通，带通，带阻等。
按相位响应分：线性相位，非线性相位。
3.IIR数字滤波器设计方法
间接法与直接法

二.数字滤波器的技术指标

1.选频滤波器的频率响应

|H(e^jΩ)| 是幅频特性，表示信号通过滤波器后各频率衰减情况
β(jΩ) 是相频特性，反映通过滤波器后各频率成分的延时情况

表征频率响应的特征参量有：
①幅度平方响应
②相位响应
③群延迟响应

此为群延迟响应，当τ(e^jΩ)=常数，则为线性相位滤波器。

另外还有通带，阻带，过渡带，通带容限(δ1)，阻带容限(δ2)，通带截止频率(ωp），阻带截止频率(ωst)，通带允许的最大衰减分贝Rp，阻带最小衰减分贝As等。其中，ωp又称3dB通带截止频率。

三.全通滤波器

1.定义

系统频率响应的幅度在所有ω都为1

2.一阶全通系统

它的零点和极点关于单位圆边界对称。

3.二阶全通系统

零点与零点，极点与极点之间共轭对称；零点与极点关于单位圆边界对称。

4.N阶数字全通滤波器

5.全通系统H_ap(Z)的性质

• 全通系统相频特性随ω增加而单调下降
• 全通系统相频特性一定是负数
• 全通系统群延时一定是正数
• 全通系统相角的变化量为Nπ

6.全通系统的应用

（1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示为全通系统H_ap(z)和最小相位系统H_min(z)的级联

注：对于闭环系统，传递函数 极点和零点 的实部≤0，则称它是最小相位系统。

（2）级联一个全通系统，可以使非稳定滤波器变成稳定滤波器
（3）全通系统可以作为相位均衡器，即矫正系统非线性相位，而不改变幅度特性

四.最小相位 滞后 滤波器

(此部分不详写）
最小相位系统H_min(z)：因果系统 所有零点 都在单位圆内
最大相位系统H_max(z)：因果系统 所有零点 都在单位圆外
混合相位系统：单位圆内，外都有零点

五.模拟低通滤波器的设计

滤波器的种类 取决于 滤波的幅度函数 的不同。
由前面得分析可知，由已知的 幅度平方函数 |H_a(jΩ)|²能求得 模拟滤波器的系统函数 H_a(s）

1.巴特沃斯低通滤波器

（1）幅度平方函数

N为滤波器阶数，Ω_c为通带截止频率

称Ω_c 为Butterworth低通滤波器的 3分贝带宽

由图可见，N的不同会导致滤波器的特性有所变化。
该滤波器是一个全极点滤波器，其极点分布在圆上，不落在虚轴，共2N点。

（2）滤波器的系统函数

Ω_c=1rad/s时，为归一化系统的系统函数H_an(s)

（3）滤波器设计步骤

• 确定技术指标：Ω_p，R_p，Ω_s，A_s

• 根据技术指标求滤波器阶数N
  

• 求归一化系统函数：由N，直接查表得H_an(s)

• 去归一化

2.切比雪夫低通滤波器

切比雪夫有I ,II型滤波器

下面是I型滤波器幅度特性

（1）幅度平方函数

0<ε<1,用来表征通带波纹大小，ε越大，波纹越大。由通带衰减R_p决定。

Ω_c不一定是3dB带宽
C_N(x)是N阶Chebyshev多项式

幅度函数特点(I型为例)

（2）滤波器的系统函数

（3）滤波器设计步骤

• 确定技术指标：Ω_p，R_p，Ω_s，A_s

• 根据技术指标求滤波器阶数N
  

• 求归一化系统函数：由N，直接查表得H_an(s)

• 去归一化H_a(s)=H_an(s/Ω_p）

3.低通椭圆滤波器

就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性比价最高，应用最广泛
相同指标，椭圆阶数N最小，巴特沃斯N最大

六.用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

设计思想：s平面映射到z平面（即模拟系统 映射为 数字系统）

1.冲激响应不变法

原理：数字滤波器的单位冲激响应h(n),模仿模拟滤波器的单位冲激响应h_a(t)。（所以时域逼近良好）

数字滤波器的频率响应不产生混叠失真的条件：


实际的系统不可能严格限带，都会混叠失真，在|Ω|>Ω_s/2处衰减越快，失真越小

优点是时域逼近良好，缺点是频率响应会混迭，只适合于限带的低通，带通滤波器

2.双线性变换法

原理：使 数字滤波器 的 频率响应 与 模拟滤波器 的 频率响应 相似。

s与s1域相互转换的频率关系

由此得出：

又由z=e^s1T

此时为了使模拟频率器某一频率与数字频率器任一频率有对应关系，引入系数c
（相当于同时改变s与z）

可以用查变法通过H_a(s)求得H(z)

双线性变换法优点是，避免频率响应的混迭，缺点是，Ω与ω之间会有严重的非线性失真，即畸变。
所以要通过给定数字滤波器的截止频率ω₁来预畸变。（预畸变就是提前知道误差在哪里产生，强行修正误差）

七.总结

由要求的数字滤波器先设计出模拟的，再由模拟转换为数字的。

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