差分函数（差分运算）

2024-06-08 20:35:50

差分（difference）又名差分函数或差分运算，差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具。它将原函数f(x) 映射到f(x+a)-f(x+b) 。差分运算，相应于微分运算，是微积分中重要的一个概念。总而言之，差分对应离散，微分对应连续。差分又分为前向差分、向后差分及中心差分三种。

在社会经济活动与自然科学研究中,我们经常遇到与时间t有关的变量,而人们往往又只能观察或记录到这些变量在离散的t时的值。对于这类变量,如何去研究它们的相互关系,就离不开差分与差分方程的工具。微积分中的微分与微分方程的工具,事实上来源于差分与差分方程.因此差分与差分方程更是原始的客观的生动的材料。

读者熟悉等差数列：a1 a2 a3……an……，其中an+1= an + d（ n = 1,2,…n ）d为常数，称为公差，即 d = an+1 -an , 这就是一个差分, 通常用D(an) = an+1- an来表示，于是有D(an)= d , 这是一个最简单形式的差分方程。

定义. 设变量y依赖于自变量t ,当t变到t + 1时,因变量y = y(t)的改变量Dy(t)= y(t+1) - y(t)称为函数y(t)在点t处步长为1的(一阶)差分，记作Dy1= yt+1- yt，简称为函数y(t)的(一阶)差分,并称D为差分算子。

差分具有类似于微分的运算性质。

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数f(x)，如果在等距节点：

则称Δf(x)，函数在每个小区间上的增量y(k+1)-yk为f(x)的一阶前向差分。在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当是多项式时，前向差分为Delta算子，一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低1。

向后差分

对于函数，一阶向后差分为：

注：差分方程：difference equations

中心差分

对于函数，一阶中心差分为：

差分的阶

称为阶的差分，即前向阶差分，如果数学运用根据数学归纳法，有其中，为二项式系数二项式系数二项式系数。特别的，有前向差分有时候也称作数列的二项式二项式二项式变换

首先我们来看在“无限演算”中所使用的

Df(x) = Limit[f(x+h)-f(x),h -> 0]

这是定义微分算子微分算子微分算子D的性质。“有限演算”基于由

Δf(x)=f(x+1）-f(x)

定义在差分算子差分算子差分算子Δ的性质上。

差分与微分有许多类似的性质（事实上微分可认为是差分的极限），对于幂函数的微分有

D(x^m) = m * x^(m-1） dx

我们寻找一种类似的差分性质：

Mi(x,m) = x(x-1）（x-2）…（x-m+1），整数 m > 0

Mi(x,m) = x/((x+0)(x+1）（x+2）…（x+m）），整数 m ≤ 0

ΔMi(x,m) = m * Mi(x,m-1）

逆差分

定义了差分，那么就有其逆算子，我们称之为 逆差分：

g(x) = Σf(x) + C

Σ为逆差分算子差分算子差分算子，g(x) 为 f(x) 的逆差分，C是在x,x+1,x+2……上为任意常数的函数，我们可以使用逆差分来进行求和运算：

Sum[f(x),{x,m,n-1}] (Mathematica语法）

= Sum[g(x+1）-g(x),{x,m,n-1}]

注：Sum即Σ逆差分算子。

这里我们可以求出一些函数的逆差分：

ΣMi(x,m) = Mi(x,m+1）/(m+1） + C,

Σ1/x = H(x-1） + C,H(x) = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/x,

Σ2^x = 2^x + C,

Sum[x^2,{x,0,n}] (Mathematica语法）

= Sum[Mi(x,2） + Mi(x,1），{x,0,n}]

= Sum[Mi(x,2），{x,0,n}] + Sum[Mi(x,1），{x,0,n}]

= (Mi(n+1,3） - Mi(0,3））/3 + (Mi(n+1,2） - Mi(0,2））/2

= n（1+n）（1+2n)/6

Δ（u(x)*v(x))

= u(x+1）*v(x+1） - u(x)*v(x)

= u(x+1）*v(x+1） - u(x+1）*v(x) + u(x+1）*v(x) - u(x)*v(x)

= u(x+1）*Δv(x) + v(x)*Δu(x)

v(x)*Δu(x) = Δ（u(x)*v(x)) - u(x+1）*Δv(x)

Σv(x)*Δu(x) = u(x)*v(x) - Σu(x+1）*Δv(x)

= ΣH(x）ΔMi(x,2）/2

= H(x) * Mi(x,2）/2 - ΣMi(x+1,2）/2*ΔH(x)

= H(x) * Mi(x,2）/2 - ΣMi(x+1,2）/2 * 1/(x+1）

= H(x) * Mi(x,2）/2 - Σx/2

= H(x) * Mi(x,2）/2 - Mi(x,2）/4 + C

差分方程

差分方程是微分方程的离散化。一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。　比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程， x取值[0,1] 　（注：解为y(x)=e^(-x)); 　要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1] 　这样上述微分方程可以离散化为：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）　利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出 y(k/n) 的近似值了。

应用

差分的结果反映了离散量之间的一种变化，是研究离散数学的一种工具，常用函数差近似导数。

一阶导数的差分表示

由泰勒公式：

取可得向前差分公式：

取可得向后差分公式：

取，分别取并将两式相减，可得中心差分公式：

二阶导数的差分表示

由泰勒公式：取，分别取并将两式相加，可得中心差分公式：

来源：差分（数学用语）_百度百科 (baidu.com)

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