Dimension finie有限元-ECPKn
几何：有限元；法文教材注解
Chapitre 2: Dimension finie
2.1Base finie
Combinaison linéaire 线性组合
线性组合：E中取向量组（xix_ixi），在K\mathbb KK中取一组数（aia_{i}ai），则x=∑aixix=\sum a_ix_ix=∑aixi形成的向量称为向量组（xi）的一个线性组合
本质上就是基于加法和数乘这两种线性运算所形成的组合，可以“顾名思义”来理解这个概念
这里我们并不强调“唯一性”，若aia_iai不等于bib_ibi，线性组合形成的向量不一定是不等的。
我们使用Vect((xi)i∈I)Vect((x_i)_{i\in I})Vect((xi)i∈I)来表示一个向量组famille的所有线性组合的集合（换言之，这个向量组张成的向量空间）。
向量子空间
对于前面的“线性组合”，所有由x\bold xx组成的集合称作由向量组(xix_ixi)张成的E的向量子空间。以下教材通过映射严谨定义了向量子空间
“张成”（英文span）是一个非常微妙而且形象的动词，为了更好地理解“向量空间”，张成的空间以及线性组合，推荐访问【官方双语/合集】线性代数的本质 - 系列合集_bilibili
向量组famille：一撮向量（通常是有限个）
向量组的线性组合：对一撮向量进行线性组合
向量子空间：这一撮向量所有可能的线性组合，它们共同组成了一个空间
向量组famille的性质：Génératrice, libre/liée, linéairement indépendants et linéairement dépendants
定义原文：
2.1.1 Soit (xi)i∈I(x_i)_{i\in I}(xi)i∈I une famille finie de vecteurs dans E. On dit qu’elle génératrice si tout vecteur de E est la valeur d’ au moins une combinaison linéaire des xix_ixi . On dit qu’elle est libre si tout vecteur de E est la valeur d’ au plus une combinaison linéaire des xi . On dit que cette famille est une base (finie) de E si elle est à la fois génératrice et libre.
Génératrice：向量组合中的线性组合能够张成（engendrer）到整个空间（从数学证明的角度，我们需要证明 在空间内随便找个向量到可以找到其合适的线性组合）
linéairement indépendants et linéairement dépendants：线性相关与线性无关
libre：指向量组中所有向量满足indépendant——这时候会发现，对于这个向量组而言，空间里的向量对应的线性组合是unique，一个向量只能对应一个线性组合。
liée：libre的对立面
base (finie): 基底，对于向量族满足libre+génératrice→\rightarrow→base
base canonique: 直译为“规矩的基底”~~我们可以发现，一个空间可以有不同种的基底（比如对于一个二维平面，只要是不共线的两个向量，我们都可以把它作为这个平面向量空间的基底），在这些基底中，最“规矩”的就是如同下面example中的——浅显地说，就是由单位向量组成的一套基底。
为了更好地表述这一基底，我们选择 克罗内克函数（δi,j\delta_{i,j}δi,j ）作为表达法，希望读者习惯并理解这样的写法。
作为本节的末尾，回扣主题：On dit que l’espace vectoriel E est de dimension finie s’il existe une base finie de E.
与线性映射（Application linéaire)的联系P16
2.1.4（重要重要！对后续的推导有很大的作用！）
复习：“分析”中，我们已经接触了映射的这些概念：满射surjective 单射injective 双射bijective
morphisme d’espaces vectoriels: 参见1.2.1 即（application linéaire）
isomorphisme：同构映射（简称同构），对于两个群，之间存在一个双射bijective的映射，那么称这两个群是同构的，这一双射映射就被称为同构isomorphisme
证明充分利用了f作为application linéaire 的性质，详见教材2.1.4
Base duale 对偶基
或者叫做Système de coordonnées
对偶基Base duale，顾名思义这是一个“基底”，这一基底所描绘的的空间称为对偶空间Espace duale；对偶空间以及对偶基我们会在后续进一步讨论，不过在这里，我们姑且把它看做一个“坐标提取器”Système de coordonnées
对偶空间本质上是一个由线性映射组成的空间。所有能够把原空间上的n维向量变成一个一维向量(也就是K\mathbb KK上的一个数)的线性映射构成的空间，我们称之为对偶空间Espace duale
这样的线性映射叫做forme linéaire 对偶基就是这一空间上的一个基底。Forme linéaire：摘自wiki的解释
En algèbre linéaire, une forme linéaire sur un espace vectoriel est une application linéaire sur son corps de base. En dimension finie, elle peut être représentée par une matrice ligne qui permet d’associer à son noyau une équation cartésienne.
前面我们已经提到通过K\mathbb KK上的一组数aia_iai与向量xi\bold x_ixi的组合，我们可以得到向量x；那么现在我们研究的正是这个过程的逆过程：已知向量x，通过一个映射φi0\varphi_{i_0}φi0来找到对应的坐标ai0a_{i_0}ai0. 一个映射负责提取一个坐标，这些映射于是组成了一个向量组（映射在这里作为向量组的元素，也就是一个向量啦！）
2.1.6 想说明的事情是：这一个“坐标提取器”确实是一个对偶空间的基底（对偶基），2.1.8的remarque对此给出了证明
证明的步骤包括了
1.“坐标提取器”是一个线性映射；
2.这些映射构成的向量组是génératrice，即所有E的forme linéaire都是向量组的线性组合；
3.这个向量组是libre
2.1.9利用了对偶基得出的向量空间的性质
2.1.10（无以言表。。。）
2.2 Dimension
2.2.1-2.2.6
2.2.7dimension的定义引出，即base中向量的数量
（注：dimension与后面2.3提到的的秩rang紧密相关，但是两个概念描述的是不同的东西）
向量空间的维度和向量的维度的概念是不同的（尤其是涉及到子空间时，需要严格加以区分）
比如Vect((1,1),(2,2))由两个二维向量构成的线性组合所形成的向量空间，显然是一条一维直线。
显然：
2.2.9-2.2.10与映射的联系（通过映射来寻找向量空间的dimension）
2.2.9翻译：对于一个自同构（endomorphisme）的向量空间，其中的映射要么是双射，要么非单非满。参考2.1.4证明非常容易
2.2.12 b的特殊化：
与对偶空间联系起来：对于L(E;K)\mathcal L(E;\mathbb K)L(E;K)的空间，dimKdim\mathbb KdimK显然为1，因此我们有“对偶空间的维度与原空间维度相同”dimL(E,K)=dimEdim\mathcal L(E,\mathbb K)=dim EdimL(E,K)=dimE这一结论
2.3 Théorème du rang
秩 （法：rang 英：rank）是一个神奇的概念，从向量组到映射再到矩阵，我们都使用了秩这一概念以描述他们的性质
2.3.1子空间的dimension更低（显然）
2.3.2 Codimentions余维数的定义
2.3.3 向量组的秩的定义
2.3.4 线性映射的秩 定义：用映射的象Image的秩来描述
熟悉线性代数的同学也许会了解矩阵的秩的定义，那么矩阵的秩与线性映射的秩之间有什么联系呢？
线性映射与矩阵具有相同的本质！对于向量的映射，我们把它写成f(x)f(\bold x)f(x) ,或者矩阵积的形式Ax，效果是一样的。
对于映射中的Image，在矩阵的世界里可以称为“列空间”，即矩阵所有列的线性组合
如下图，(x1,x2,x3)(x_1,x_2,x_3)(x1,x2,x3)是R3\mathbb R^3R3上任意的向量，经过这一运算后产出的image正是列的线性组合（列空间）
回到关于rang的讨论，映射的秩=image的维度 car 矩阵的秩=列空间的维度。于是我们从矩阵的角度来理解了映射的秩的定义。
2.3.5 （Théorème du rang）
其他形式的写法：dim(Imf)+dim(Kerf)=dim(E)dim(Imf)+dim(Kerf)=dim(E)dim(Imf)+dim(Kerf)=dim(E)
如何理解théorème du rang？
- 2.3.4的注释提供了从矩阵出发的思考，这一想法可以延续（列空间的维度与零空间的维度之间的关系）
2.3.6
证明利用了Théorème du rang
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