论文解读｜存储集中化对多地点报童问题中预期成本的影响

作者信息：

马玺渊（爱丁堡大学在读博士）
钟子俊（中国科学院大学在读硕士）
白静（东北财经大学在读博士）

1 概览

本文将通过解析 Eppen(1979) 关于多地点报童问题 (Multi-Location Newsvendor/Newsboy Problem) 的文章，对多地点报童问题进行简介，讨论集中化库存预期成本对多地点报童问题中的影响，并讨论由 Eppen(1979) 起相关文献的发展和未来研究方向的展望。

具体而言，我们将关注一个多地点报童问题，其中每个地点的需求服从正态分布，每个地点的线性持有和惩罚成本(linear holding and penalty cost)相同。通过合并多个地点的需求，Eppen(1979) 推导出每个地点预期持有和罚款成本的表达式，其作为每个地点需求参数的函数（包括期望、方差和相关系数），证明了：

分散式系统(decentralized system)相较于集中式系统(centralized system)体现了更高的预期持有和惩罚成本；
由互换两种系统而节省的预期持有和惩罚成本的幅度取决于各地点需求的相关性；
如果各地点的需求相同且不相关，那么成本将以合并需求数量的平方根增长。

2 问题描述

Eppen 研究了一家在全国范围内设有23个配送点的大型钢铁产品批发商。该公司现正考虑提高其库存系统的集中度，而集中化过程将会影响到现有的库存成本。我们将研究在合理的假设下，如何将持有和惩罚成本纳入涉及集中化的模型中，进而检查集中化过程对成本的影响。

该文章针对机会存储集中化的多地点报童问题，提出了多地点单周期单产品的基本模型，其中每个地点的需求两两不同。设ξi\xi_iξi 表示地点iii (i=1,…,N)(i=1,\ldots,N)(i=1,…,N)的顾客需求，其中ξi\xi_iξi服从正态分布，E(ξi)=μi\mathbb{E}(\xi_i)=\mu_iE(ξi)=μi，Var(ξi)=σi2Var(\xi_i)=\sigma_i^2Var(ξi)=σi2。对于任意两个不同的地点iii和jjj，设σij\sigma_{ij}σij为ξi\xi_iξi和ξj\xi_jξj的协方差，ρij\rho_{ij}ρij为相关系数；现假设每个地点需求的变异系数σi/μi\sigma_i/\mu_iσi/μi充分小，以保证没有负需求出现。假设每个地点持有单独的库存，且每个地点对于所有来源的需求的持有和惩罚成本保持不变；特别地，假设在每个周期的末尾，系统将对每个地点当下库存水平所产生的线性持有或惩罚成本进行测算。

3 模型构建

基于上述问题描述和假设，在时段期末，计算地点iii以库存水平yyy为起始的预期持有和惩罚成本如下：

Hi(y)=∫−∞yh(y−ξ)ϕi(ξ)dξ+∫y∞p(ξ−y)ϕidξ,H_i(y) = \int_{-\infty}^y h(y-\xi)\phi_i(\xi)\mathrm{d}\xi + \int_y^{\infty}p(\xi-y)\phi_i\mathrm{d}\xi, Hi(y)=∫−∞yh(y−ξ)ϕi(ξ)dξ+∫y∞p(ξ−y)ϕidξ,

其中ϕi(⋅)\phi_i(\cdot)ϕi(⋅)为ξi\xi_iξi的密度函数，ppp和hhh分别是单位惩罚和持有成本。经过推导，上式可发展为

Hi(y)=hy−hμi+(hp)σiR(y−piσ),H_i(y)=hy-h\mu_i+(h_p)\sigma_iR(\frac{y-p_i}{\sigma}), Hi(y)=hy−hμi+(hp)σiR(σy−pi),

其中R(u)R(u)R(u)在库存文献中广泛使用 (Johnson and Montgomery, 1974)，

R(u)=∫u∞(w−u)12πe−w2/2dw.R(u)=\int_u^{\infty}(w-u)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-w^2/2}\mathrm{d}w.R(u)=∫u∞(w−u)2π1e−w2/2dw.

设任一时段任一地点的起始库存为yyy. 在库存理论中，若要最优化预期持有和惩罚成本，需找到该时段满足

Φi(y)≥ph+p\Phi_i(y)\geq\frac{p}{h+p} Φi(y)≥h+pp

起始库存的最小值，记为yˉ\bar{y}yˉ，其中Φi(⋅)\Phi_i(\cdot)Φi(⋅)是ξi\xi_iξi的累计分布函数。上式表明，地点i\boldsymbol{i}i的最优初始库存可以由该地点需求分布的某个分位点来定义。又因h\boldsymbol{h}h与p\boldsymbol{p}p对于任一地点保持不变，该分位点适用于任一地点。根据分为点定义，最优起始库存水平yˉ\bar{y}yˉ可表示为

yˉ=μi+zˉσi,\bar{y}=\mu_i+\bar{z}\sigma_i, yˉ=μi+zˉσi,

其中zˉ\bar{z}zˉ为标准正态分布的第pp+h\frac{p}{p+h}p+hp分为点，进而得出

Hi(yˉ)=[hzˉ+(h+p)R(zˉ)]σi;H_i(\bar{y})=[h\bar{z}+(h+p)R(\bar{z})]\sigma_i; Hi(yˉ)=[hzˉ+(h+p)R(zˉ)]σi;

暂记K=[hzˉ+(h+p)R(zˉ)]K=[h\bar{z}+(h+p)R(\bar{z})]K=[hzˉ+(h+p)R(zˉ)]. 那么，单个地点最优订货量下的期望成本是需求分布标准差的K\boldsymbol{K}K倍。

4 模型分析与结论

为特别关注集中化影响的分析，现考虑从一个中央仓库满足所有地点需求的情况。设ξT=∑i=1Nξi\xi_T=\sum_{i=1}^N \xi_iξT=∑i=1Nξi为该集中仓库的（总）需求，显然，ξT∼N(μT,σT)\xi_T\thicksim\mathcal{N}(\mu_T,\sigma_T)ξT∼N(μT,σT)，其中μT=∑i=1Nμi\mu_T=\sum_{i=1}^N\mu_iμT=∑i=1Nμi，σT=∑i,j=1Nσij\sigma_T=\sqrt{\sum_{i,j=1}^N\sigma_{ij}}σT=∑i,j=1Nσij. 设HC(yˉT)=KσTH_C(\bar{y}_T)=K\sigma_THC(yˉT)=KσT为集中库存的预期持有和惩罚成本的最优值。现考虑两种极端情况：

一个完全分散的系统，即用某独立的库存来满足每个地点的需求的系统，这里每个地点的需求被逐一且独立满足。于是每个地点的成本可表示为Hi(yˉi)=KσiH_i(\bar{y}_i)=K\sigma_iHi(yˉi)=Kσi，总成本TCD=K∑i=1NσiTC_D=K\sum_{i=1}^N\sigma_iTCD=K∑i=1Nσi.
一个完全集中的系统，即一个集中仓库满足所有需求的系统，这里各地点的需求被合并后再满足，总成本TCC=KσTTC_C=K\sigma_TTCC=KσT. 且还可记为
TCC=K∑i=1Nσi2+2∑i=1N−1∑j=i+1Nσiσjρij.TC_C=K\sqrt{\sum_{i=1}^N\sigma_i^2+2\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^N\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}}.TCC=Ki=1∑Nσi2+2i=1∑N−1j=i+1∑Nσiσjρij.

因此，中心化对预期持有和惩罚成本的影响程度取决于中心化需求之间的相关性。从两个总成本表达式中，我们可以得出以下结果：

TCD≥TCCTC_D\geq TC_CTCD≥TCC，即中心化的库存能够节约预期成本;
若对于任一对地点iii与jjj, ρij=1\rho_{ij}=1ρij=1，则TCC=TCDTC_C=TC_DTCC=TCD，即当两个地点需求完全正相关，则预期成本完全一致。

为了更清楚地理解相关性在集中化库存中的作用，设

v=2∑i=1N−1∑j=i+1Nσiσjρij.v=2\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^N\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}.v=2i=1∑N−1j=i+1∑Nσiσjρij.

于是，

σT2=∑i=1Nσi2+v,\sigma_T^2=\sum_{i=1}^N\sigma_i^2+v,σT2=i=1∑Nσi2+v,

这里vvv可以被认为是集中化对最终需求方差的贡献。我们已知σT2≥0\sigma_T^2\geq0σT2≥0且ρij≤1\rho_{ij}\leq 1ρij≤1，于是

−∑i=1Nσi2≤v≤2∑i=1N−1∑j=i+1Nσiσj.-\sum_{i=1}^N\sigma_i^2\leq v\leq 2\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^N \sigma_i\sigma_j.−i=1∑Nσi2≤v≤2i=1∑N−1j=i+1∑Nσiσj.

根据集中化总成本的定义，

TCC=K∑i=1Nσi2+v,TC_C=K\sqrt{\sum_{i=1}^N\sigma_i^2+v},TCC=Ki=1∑Nσi2+v,

通过上式可以得出，TCCTC_CTCC是关于vvv的凸函数。进一步地，

若设该函数值为0，则

v=−∑i=1Nσi2;v=-\sum_{i=1}^N\sigma_i^2;v=−i=1∑Nσi2;

若设为TCDTC_DTCD，则

v=2∑i=1N−1∑j=i+1Nσiσj.v=2\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^N \sigma_i\sigma_j.v=2i=1∑N−1j=i+1∑Nσiσj.

若v=0v=0v=0，则各地点需求不相关，则有TCC/TCDTC_C/TC_DTCC/TCD为两标准差平方和之比的平方根。

引用 Eppen 的表达，仓库的规模是集中化的结果之一(warehourse size is a result of centralization)。那么，当需求不相关时，TCCTC_CTCC的表达式为研究成本如何随仓库规模而增加提供了方便的工具。在这种情况下，

TCC=K∑i=1Nσi2.TC_C=K\sqrt{\sum_{i=1}^N\sigma_i^2}.TCC=Ki=1∑Nσi2.

若假设σi2=σ2\sigma_i^2=\sigma^2σi2=σ2，则TCC=KσNTC_C=K\sigma\sqrt{N}TCC=KσN.

该结果的现实意义在于，若有NNN个地点的需求独立同分布，那么 TCC=KσN=TCD/NTC_C=K\sigma\sqrt{N}=TC_D/\sqrt{N}TCC=KσN=TCD/N; 也就是说，地点个数的增加，中心化带来的费用降低得越多。

总体而言，库存的本质是对抗需求的不确定性，这种不确定性可以用变异系数（标准差除以均值）来衡量。在独立同分布的情况下，N\boldsymbol{N}N家店把需求统一在一起，均值扩大为原来的N\boldsymbol{N}N倍，但标准差只变为原来的N\boldsymbol{\sqrt{N}}N倍，实质上降低了需求的不确定性。

注：库存集中化，既可以是物理上放置在同一个仓库，也可以是虚拟的、逻辑上的集中。

5 文献发展

Eppen (1979) 这篇具有开创性的文章说明了集中化库存，相较于分散式，理想情况下能有 N\sqrt{N}N 倍预期费用的节约；这是建立在需求服从正态分布和忽略调货费用两个假设下。若放宽假设或适当一般化问题设定，则会得到与其相关但同时值得研究的问题。

首先，若放开需求服从正态分布这一假设，问题将在优化系统成本或收益的基础上考虑到需求的不确定性，进而得到库存中风险的集中与共担 (risk pooling) 问题。针对库存中需求的不确定性，Bookbinder and Tan (1988) 提出了三种不确定性策略 (static, static-dynamic, dynamic uncertainty strategy)，由此发展处若干库存策略，且被广泛应用于各类库存假设的问题中。具体地，若从需求的分布进行讨论，Berman et al. (2011) 研究了其它参数分布和非参数分布需求下集中化库存带来的费用节约，发现需求分布的变异系数会很大地影响集中化库存的效果；Bimpikis and Markakis (2016) 关注于重尾分布下的库存池，发现需求分布尾部概率越大时，集中化库存带来的效益越低。

其次，一大类文章研究了调货费用不为零时的转运（transshipment）问题。库存控制中的转运问题种类繁多，其中涉及是否同级转运、转运的时机、集中化程度等多类假设，读者可参考Paterson et al. (2011)、Chiou (2008) 等文献综述深入了解。较为经典且与报童问题密切相关的，如 Rudi et al. (2001) 考虑了两个不同地点的报童问题：当一方有库存剩余而另一方有满足不了的需求时，就可以通过转运来增加整体的利润。文章研究了公司内（两个报童是利益共同体）和公司间（两个报童进行博弈）的报童转运问题。

后续的研究，有些将两个报童扩展为多个来研究供应链网络中的转运优化问题，如 Wee and Dada (2005) 研究了供应链网络的最优转运策略，并得出五类最优化转运策略和条件；Rong et al. (2010) 将补货与转运结合，讨论了分散化系统中的预防性转运 (preventive transshipment) 的最优策略，并证明了在其假设下，转运决策有一个占优策略，称为控制带保护转移策略。

在 Rudi et al. (2001) 的基础模型之上，近年有较多的文章开始考虑行为 (behavior) 对这个系统造成的影响。比如 Zhao et al. (2021) 通过调查和实验分析行为因素对多地点库存问题的影响，发现实践当中经理的订货量往往偏低，并建立了一套理论模型加以解释；Li et al. (2021) 研究了过度自信的报童问题，他们建立理论模型发现，如果报童是过度自信的话，公司间的库存共享甚至可能导致双方的利润降低。

总体而言，基于 Eppen (1979) 的研究扩展文献还有很多，它们基本包含关键词 inventory pooling, inventory sharing, transshipment, risk pooling 等。感兴趣的读者可以自行搜索。

参考文献

Berman, O., Krass, D., and Mahdi Tajbakhsh, M. (2011). On the benefits of risk pooling in inventory management. Production and operations management, 20(1):57–71.

Bimpikis, K. and Markakis, M. G. (2016). Inventory pooling under heavy-tailed demand. Management Science, 62(6):1800–1813.

Bookbinder, J. H. and Tan, J.-Y. (1988). Strategies for the probabilistic lot-sizing problem with service-level constraints. Management Science, 34(9):1096–1108.

Chiou, C.-C. (2008). Transshipment problems in supply chain systems: review and extensions. Supply Chain, pages 427–448.

Eppen, G. D. (1979). Note — Effects of centralization on expected costs in a multi-location newsboy problem. Management science, 25(5):498–501.

Johnson, L. A. and Montgomery, D. C. (1974). Operations research in production planning, scheduling, and inventory control. John Wiley & Sons Incorporated.

Li, J., Li, M., and Zhao, X. (2021). Transshipment between overconfident newsvendors. Production and Operations Management, 30(9):2803–2813.

Paterson, C., Kiesmüller, G., Teunter, R., and Glazebrook, K. (2011). Inventory models with lateral transshipments: A review. European Journal of Operational Research, 210(2):125–136.

Rong, Y., Snyder, L. V., and Sun, Y. (2010). Inventory sharing under decentralized preventive transshipments. Naval Research Logistics (NRL), 57(6):540–562.

Rudi, N., Kapur, S., and Pyke, D. F. (2001). A two-location inventory model with transshipment and local decision making. Management science, 47(12):1668–1680.

Wee, K. E. and Dada, M. (2005). Optimal policies for transshipping inventory in a retail network. Management science, 51(10):1519–1533.

Zhao, H., Xu, L., and Siemsen, E. (2021). Inventory sharing and demand-side underweighting. Manufacturing & Service Operations Management, 23(5):1217–1236.