HMM隐马尔科夫模型学习总结

隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model,简称HMM)是结构最简单的动态贝叶斯网(dynamic Bayesian network)，这是一种著名的有向图模型，主要用于时序数据建模，在语音识别、自然语言处理等领域有广泛应用。
隐马尔可夫模型中的变量可分为两组，第一组是状态变量 {y1,y2,y3,…yn}，其中 yi∈Y表示第i时刻的系统状态。通常假定状态变量是隐藏的、不可被观测的，因此状态变量亦称隐变量(hidden variable)。第二组是观测变量{x1, x2,. . . , xn}，其中x ∈X表示第i时刻的观测值。在隐马尔可夫模型中，系统通常在多个状态{ s1, s2,…,sN}之间转换，因此状态变量yi的取值范围Y(称为状态空间)通常是有N个可能取值的离散空间。观测变量xi可以是离散型也可以是连续型。

图中的箭头表示了变量间的依赖关系。在任一时刻,观测变量的取值仅依赖于状态变量，即 xt由yt确定，与其他状态变量及观测变量的取值无关。同时，t时刻的状态yt仅依赖于t―1时刻的状态yt-1，与其余n-2个状态无关.这就是所谓的“马尔可夫链”(Markov chain)，即：系统下一时刻的状态仅由当前状态决定，不依赖于以往的任何状态。基于这种依赖关系，所有变量的联合概率分布为

除了结构信息,欲确定一个隐马尔可夫模型还需以下三组参数:
状态转移概率:模型在各个状态间转换的概率
输出观测概率:模型根据当前状态获得各个观测值的概率
初始状态概率:模型在初始时刻各状态出现的概率

HMM在序列标注中的应用

序列标注问题的输入是一个观测序列，输出是一个标记序列或状态序列。问题的目标在于学习一个模型，使它能够对观测序列给出标记序列作为预测。

PPT中举了一个例子，人脑产生一段话，是先产生一段基于语法的词性序列，再在这个词性序列的基础上，产生一句话。

“John saw the saw”，这段话的词性是"PN V D N"。那如何由序列{“PN V D N”}到{“John saw the saw”}？

P(x) = P(“John saw the saw”)
P(y) = P(“PN V D N”)
想要得到P(x,y)，可由条件概率公式
P(x,y) = P(y) × P(x|y)
先求得 P(y) 和 P(x|y)，也就是 P(“PN V D N”) 和 P( “John saw the saw” | “PN V D N” )
而这两个概率，可以从大量语料的训练中得到

上图是展开后的计算公式
下面分别计算P(y) 和 P(x|y)，也就是 P(“PN V D N”) 和 P( “John saw the saw” | “PN V D N” )

这样就可以计算出P(x,y)

上面的是一个小热身，现在进入正题

在上面的例子中，y是知道的，x是不知道的。
现在，x是知道的，而y是要被找出来的，这就成了词性标注问题。
找出y，就是找出令P(y|x)最大时y的取值，因P(x)的值与y无关，故找出令P(y|x)最大时y的取值，也就是找出令P(x,y)最大时y的取值。

找出P(x,y)最大时的y值有两种方法
第一种方法：穷举法
假设观测序列X长度为L，隐状态序列Y取值有S种状态，那么则需要对每一个隐状态进行S次预测，一共是|S|^L次。
第二种方法：Viterbi算法
时间复杂度为O(L|S|^2)
这是我看到的讲解Viterbi算法很浅显易懂的一篇知乎：
https://www.zhihu.com/question/20136144
维特比算法（Viterbi algorithm）是一种动态规划算法。它用于寻找最有可能产生观测事件序列的-维特比路径-隐含状态序列,特别是在马尔可夫信息源上下文和隐马尔可夫模型中。

下面简单举例说明使用Viterbi算法求S到E的最短路径

对于t时刻的每个状态，记录下前一个时刻也就是t-1时刻的所有状态到每个t时刻状态的最小路径

在A1→B1，A2→B1，A3→B1的这三条路径中，A3→B1路径是最短的，故保留A3→B1，删去其他路径。同理，在A1→B2，A2→B2，A3→B2的这三条路径中，A1→B2路径是最短的，故保留A1→B2，删去其他路径。其他的路径也是同理得到的。

最后发现，S到E只有三条路径，只要从这三条路径中计算出最短的那条就可以得到S→E的最短路径。

但是HMM算法在解决词性标注问题上也存在一些问题（网上拷的）
1、HMM只依赖于每一个状态和它对应的观察对象：
序列标注问题不仅和单个词相关，而且和观察序列的长度，单词的上下文，等等相关。
2、目标函数和预测目标函数不匹配：
HMM学到的是状态和观察序列的联合分布P(Y,X)，而预测问题中，我们需要的是条件概率P(Y|X)。

HMM会给训练集语料中出来没有出现过的序列赋予很高的概率。
再举个例子说明
在训练集中
词性N下一个词性接V，V的观测值是词c，这样的一个序列在训练集中出现9次
词性P下一个词性接V，V的观测值是词a，这样的一个序列在训练集中同样出现9次
词性N下一个词性接D，D的观测值是词a，这样的一个序列在训练集中出现1次
P(V|N) = 0.9 ，P(D|N) = 0.1
P(“c”|V) = 0.5 ，P(“a”|V) = 0.5
P(“a”|D) = 1

在预测词为a的词性时，当前一个词性为N，计算概率值
P(“a”,N) = P(“a”|N) × P(N)
P(“a”|N) =P (?|N) × P(“a”|?)
当 ?=V 时，P(“a”,N)概率比 ?=D 时的概率值更大
但是训练集中并没有出现过N→V→"a"
如果依据训练集，此处的隐状态应该是D

对HMM而言，它会觉得语料中没有的N→V→"a"出现的概率比N→D→"a"出现的概率更高。由于这种“脑补”的现象，当训练集很少的时候，HMM的表现比更好一些。但是当训练集很大的时候，HMM的表现就不那么好了。