用Mathematica解两个圆柱面相贯的交线及其投影的问题

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典型的用符号计算可以得到解析解的多项式方程组问题。难度级别低。

首先，画出这两个圆柱面（猜猜它们各自的方程）：

ParametricPlot3D[{{10 Cos[u], 10 Sin[u], v}, {-(v/2) + 10 Sqrt[3] Cos[u], 20 Sin[u], (Sqrt[3] v)/2 + 10 Cos[u]}}, {u, 0 , 2 Pi}, {v, -80, 80}, PlotPoints -> 70, PlotTheme -> "Classic", Mesh -> None]

其次，求解相贯线对应的参数方程：

Solve[{x^2 + y^2 == 100, (Sqrt[3] x + z)^2 + 4 y^2 == 1600}, {x, y}] // Simplify

第三，画出相贯线

ParametricPlot3D[{{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z}},{z,-80,80}]

第四，这个是对相贯线再作投影要用的：

(IdentityMatrix[4] - Transpose[{{1, 0, 1, 0}}].{{1, 0, 1, 0}}/({{1, 0, 1, 0}}.Transpose[{{1, 0, 1, 0}}])[[1, 1]])[[1 ;; 3, 1 ;; 3]] // MatrixForm

最后，直接对相贯线投影的参数方程绘图

ParametricPlot3D[{{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z-2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2+4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],-Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z},{Sqrt[3] z+2 Sqrt[-300+z^2],Sqrt[1300-7 z^2-4 Sqrt[3] z Sqrt[-300+z^2]],z}}.{{1/2,0,-(1/2)},{0,1,0},{-(1/2),0,1/2}},{z,-80,80},PlotStyle->Red]

好吧，把空间曲线再放到平面上（在它们投影面上建立一个平面坐标系）：

搞定【一个有价值的发现是，这种曲线可以作为鸡蛋轮廓线的一种很好的近似】

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