牛客多校6 - Binary Vector(组合数学+推公式)

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题目大意：给出一个 n * n 的 01 矩阵，求满秩的概率

题目分析：首先公式是： $f[n]=\prod_{i=0}^{n-1}\frac{2^n-2^i}{2^n}=\frac{\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i)}{2^{n^2}}$

稍微解释一下吧，将 n * n 的矩阵视为 n 个长度为 n 的向量，对于每一个长度为 n 的向量，都有 2^n 种情况，因为要求 n 个向量线性独立，所以我们依次讨论：

对于第一个向量来说，只需要至少有一个位置为 1 即可，即全部为 0 的情况不满足条件，此时满足条件的情况为 $2^n-1$
对于第二个向量来说，需要满足的条件是，不能全部为 0 ，且不能被第一个向量所表示，此时满足条件的情况为 $2^n-2$
对于第三个向量来说，同样不能为 0 ，不能被第一个向量所表示，不能被第二个向量所表示，不能被第一个向量和第二个向量所表示，此时满足条件的情况为 $2^n-4$
对于第四个向量来说，不能被前面向量表示的集合为 { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } ，共八种情况，所以此时满足条件的情况为 $2^n-8$
......
对于第 n 个向量来说，不能被前面 n - 1 个向量单独或混合表示，此时满足条件的情况为 $2^n-2^{n-1}$

然后下一步就是将其转换为递推式，根据

$f[n]=\frac{\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i)}{2^{n^2}},f[n+1]=\frac{\prod_{i=0}^{n}(2^{n+1}-2^i)}{2^{(n+1)^2}}=\frac{\prod_{i=1}^{n}(2^{n+1}-2^i)*(2^{n+1}-1)}{2^{n^2}*2^{2n}*2}=\frac{2^n*\prod_{i=1}^{n}(2^n-2^{i-1})*(2^{n+1}-1)}{2^{n^2}*2^n*2^n*2}=\frac{\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i)*(2^{n+1}-1)}{2^{n^2}*2^n*2}=\frac{f[n]*(2^{n+1}-1)}{2^{n+1}}$

实现的话递推 2 的逆元就好了，在 mod 为 1e9+7 时，2 的逆元为 500000004

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e7+100;const int mod=1e9+7;LL f[N],inv=500000004,ans[N];void init()
{ans[1]=f[1]=500000004;LL _2=4,inv_2=inv*inv%mod;for(int i=2;i<N;i++){f[i]=f[i-1]*(_2-1)%mod*inv_2%mod;_2=_2*2%mod;inv_2=inv_2*inv%mod;ans[i]=ans[i-1]^f[i];}
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int w;cin>>w;while(w--){int n;scanf("%d",&n);printf("%lld\n",ans[n]);}return 0;
}

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