632. Smallest Range Covering Elements from K Lists 最小区间

你有 k 个升序排列的整数数组。找到一个最小区间，使得 k 个列表中的每个列表至少有一个数包含在其中。

我们定义如果 b-a < d-c 或者在 b-a == d-c 时 a < c，则区间 [a,b] 比 [c,d] 小。

示例 1:

输入:[[4,10,15,24,26], [0,9,12,20], [5,18,22,30]]
输出: [20,24]

**解释: **

列表 1：[4, 10, 15, 24, 26]，24 在区间 [20,24] 中。
列表 2：[0, 9, 12, 20]，20 在区间 [20,24] 中。
列表 3：[5, 18, 22, 30]，22 在区间 [20,24] 中。

注意:

给定的列表可能包含重复元素，所以在这里升序表示 >= 。
1 <= k <= 3500
-105 <= 元素的值 <= 105

堆

给定 k 个列表，需要找到最小区间，使得每个列表都至少有一个数在该区间中。该问题可以转化为，从 k 个列表中各取一个数，使得这 k 个数中的最大值与最小值的差最小。

假设这 k 个数中的最小值是第 i 个列表中的 x，对于任意 j != i，设第 j 个列表中被选为 k 个数之一的数是 y，则为了找到最小区间，y 应该取第 j 个列表中大于等于 x 的最小的数。

简单证明如下：假设 z 也是第 j 个列表中的数，且 z>y，则有 z-x>y-x，同时包含 x 和 z 的区间一定不会小于同时包含 x 和 y 的区间。因此，其余 k−1 个列表中应该取大于等于 x 的最小的数。

由于 k 个列表都是升序排列的，因此对每个列表维护一个指针，通过指针得到列表中的元素，指针右移之后指向的元素一定大于或等于之前的元素。

使用最小堆维护 k 个指针指向的元素中的最小值，同时维护堆中元素的最大值。初始时，k 个指针都指向下标 0，最大元素即为所有列表的下标 0 位置的元素中的最大值。

每次从堆中取出最小值，根据最大值和最小值计算当前区间，如果当前区间小于最小区间则用当前区间更新最小区间，然后将对应列表的指针右移，将新元素加入堆中，并更新堆中元素的最大值。

如果一个列表的指针超出该列表的下标范围，则说明该列表中的所有元素都被遍历过，堆中不会再有该列表中的元素，因此退出循环。

Code

 def smallestRange(self, nums: List[List[int]]) -> List[int]:rangeLeft, rangeRight = -10 ** 9, 10 ** 9# 初始时，k 个指针都指向下标 0，最大元素即为所有列表的下标 0 位置的元素中的最大值maxValue = max(vec[0] for vec in nums)priorityQueue = [(vec[0], i, 0) for i, vec in enumerate(nums)]heapq.heapify(priorityQueue)while True:minValue, row, idx = heapq.heappop(priorityQueue)if maxValue - minValue < rangeRight - rangeLeft:rangeLeft, rangeRight = minValue, maxValueif idx == len(nums[row]) - 1:breakmaxValue = max(maxValue, nums[row][idx + 1])heapq.heappush(priorityQueue, (nums[row][idx + 1], row, idx + 1))return [rangeLeft, rangeRight]

复杂度分析

时间复杂度：O(nklogk)，其中 n 是所有列表的平均长度，k 是列表数量。所有的指针移动的总次数最多是 nk 次，每次从堆中取出元素和添加元素都需要更新堆，时间复杂度是 O(logk)，因此总时间复杂度是 O(nklogk)。

空间复杂度：O(k)，其中 k 是列表数量。空间复杂度取决于堆的大小，堆中维护 k 个元素。