2.5 稀疏矩阵

2.5.1 矩阵的存储方式

• 完全存储方式
• 稀疏存储方式
  • 稀疏存储方式只存储矩阵的非零元素的值及其位置，即行号和列号。

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注意：采用稀疏存储方式时，矩阵元素的存储顺序并没有改变，也是按列的顺序进行存储。

❞

举例：

2.5.2 稀疏存储方式的产生

(1)完全存储方式与稀疏存储方式之间的转化

• A = sparse(S)：将矩阵 S 转化为稀疏存储方式的矩阵 A
• S = full(A)：将矩阵 A 转化为完全存储方式的矩阵 S

>> A = sparse(eye(5))

A =

   (1,1)        1   (2,2)        1   (3,3)        1   (4,4)        1   (5,5)        1

>> B = full(A)

B =

     1     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     1     0     0     0     0     0     1

>> whos  Name      Size            Bytes  Class     Attributes

  A         5x5               128  double    sparse      B         5x5               200  double           

(2)直接建立稀疏存储矩阵

sparse 函数的其他调用格式：

• sparse(m,n)：生成一个 m✖️n 的所有元素都是零的稀疏矩阵
• sparse(u,v,S)：其中 u、v、S 是 3 个等长的向量。S 是要建立的稀疏存储矩阵的非零元素，u(i)、v(i) 分别是 S(i) 的行和列下标

>> A = sparse([1,2,2],[2,1,4],[4,5,7])

A =

   (2,1)        5   (1,2)        4   (2,4)        7

>> B = full(A)

B =

     0     4     0     0     5     0     0     7

使用 spconvert 函数直接建立稀疏存储矩阵，其调用格式为：B = spconvert(A)

A 为一个 m ✖️ 3 或 m ✖️ 4 的矩阵，其每行表示一个非零元素，m 是非零元素的个数

• A(i,1) 表示第 i 个非零元素所在的行
• A(i,2) 表示第 i 个非零元素所在的列
• A(i,3) 表示第 i 个非零元素值的实部
• A(i,4) 表示第 i 个非零元素值的虚部

若矩阵的全部元素都是实数，则无须第 4 列

>> A = [2,2,1;2,1,-1;2,4,3]

A =

     2     2     1     2     1    -1     2     4     3

>> B = spconvert(A)

B =

   (2,1)       -1   (2,2)        1   (2,4)        3

(3)带状稀疏矩阵的稀疏存储

稀疏矩阵有两种基本类型：无规则结构的稀疏矩阵与有规则结构的稀疏矩阵

带状稀疏矩阵是指所有非零元素集中在对角线上的矩阵。

>> A = [11,0,0,12,0,0;0,21,0,0,22,0;0,0,31,0,0,32;41,0,0,42,0,0;0,51,0,0,52,0]

A =

    11     0     0    12     0     0     0    21     0     0    22     0     0     0    31     0     0    32    41     0     0    42     0     0     0    51     0     0    52     0

>> [B,d] = spdiags(A)

B =

     0    11    12     0    21    22     0    31    32    41    42     0    51    52     0

d =

    -3     0     3

>> A = spdiags(B,d,5,6)

A =

   (1,1)       11   (4,1)       41   (2,2)       21   (5,2)       51   (3,3)       31   (1,4)       12   (4,4)       42   (2,5)       22   (5,5)       52   (3,6)       32

(4)单位矩阵的稀疏矩阵

• Speye(m,n) 返回一个 m × n 的稀疏存储单位矩阵

>> speye(3)

ans =

   (1,1)        1   (2,2)        1   (3,3)        1

2.5.3 稀疏矩阵的应用实例

>> kf1 = [1;1;2;1;0];>> k0 = [2;4;6;6;1];>> k1 = [0;3;1;4;2];>> B = [kf1,k0,k1];>> d = [-1;0;1];>> A = spdiags(B,d,5,5);>> f = [0;3;2;1;5];>> x = A\f

x =

   -0.1667    0.1111    2.7222   -3.6111    8.6111