解题报告：X、骑士共存问题（最大独立集）（匈牙利 / 最大流）

X、骑士共存问题（最大独立集）（匈牙利 / 最大流）

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【问题分析】

二分图最大独立集，转化为二分图最大匹配，从而用最大流解决。

【建模方法】

首先把棋盘黑白染色，使相邻格子颜色不同。把所有可用的黑色格子看做二分图X集合中顶点，可用的白色格子看做Y集合顶点。建立附加源S汇T，从S向X集合中每个顶点连接一条容量为1的有向边，从Y集合中每个顶点向T连接一条容量为1的有向边。从每个可用的黑色格子向骑士一步能攻击到的可用的白色格子连接一条容量为无穷大的有向边。求出网络最大流，要求的结果就是可用格子的数量减去障碍数再减去最大流量。

【建模分析】

用网络流的方法解决棋盘上的问题，一般都要对棋盘黑白染色，使之成为一个二分图。放尽可能多的不能互相攻击的骑士，就是一个二分图最大独立集问题。有关二分图最大独立集问题，更多讨论见国家队论文《最小割模型在信息学竞赛中的应用》作者胡伯涛。

本题数据范围200，如果按照奇数建图可以用匈牙利算法侥幸AC，正解还是应该使用最大流算法。

匈牙利算法

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define x first
#define y second
using namespace std;const int N = 507, M = 5007;typedef pair<int, int> PII;int n, m, t;
PII match[N][N];
bool g[N][N];
bool vis[N][N];
int dx[8] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
int dy[8] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};bool find(int x, int y){for(int i = 0;i < 8;++i){int a = x + dx[i];int b = y + dy[i];if(a <= 0 || b <= 0 || a > n || b > m || vis[a][b] || g[a][b])continue;vis[a][b] = true;PII t = match[a][b];if(t.x == -1 || find(t.x, t.y)){match[a][b] = {x,y};return true;}}return false;
}int main(){scanf("%d%d",&n,&t);m = n;for(int i = 1;i <= t;++i){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);g[x][y] = true;}memset(match, -1, sizeof match);int res = 0;for(int i = 1;i <= n;++i)for(int j = 1;j <= m;++j){if(i + j & 1 && !g[i][j])//反正就是一半一半{memset(vis,0,sizeof vis);if(find(i, j))res ++ ;}}printf("%d\n",n * m - t - res);return 0;
}

最大流

待补

注：部分题解来自线性规划与网络流24题解题报告，个人留存学习使用

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