动态规划--连续子序列的最大和

给定k个整数的序列{N1,N2,...,Nk }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., Nj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即为20。

注：为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为0。

算法一，穷举法，找出所有子数组，然后求出子数组的和，在所有子数组的和中取最大值

/*O(n^3)穷举法* 缺点：重复累加，与maxSum比较，每次i->j中间累加完了才与maxSum比较* */public static int MaxSubSequence1(int[] array){int length=array.length;int maxSum=0;int thisSum=0;for(int i=0;i<length;i++){for(int j=i;j<length;j++){thisSum=0;for(int k=i;k<j;k++){//把i->j之间累加起来thisSum+=array[k];if(thisSum>maxSum){maxSum=thisSum;}}}}return maxSum;       }

算法二，第一种方法每次i->j之间都要迭代一遍，重复计算了很多，可以利用已经计算的子数组的和

 /*O(n^2)穷举法* i->j之间每累加一次就和maxsum比较* */public static int MaxSubSequence2(int[] array){int length=array.length;int maxSum=0;int thisSum=0;for(int i=0;i<length;i++){thisSum=0;for(int j=i;j<length;j++){thisSum+=array[j];  if(thisSum>maxSum){maxSum=thisSum;}}}return maxSum;}

算法三，动态规划，初始化一个最大值数组MaxSum[n], MaxSum[i]就表示A[0...i]以A[i]结尾的子数组最大和，那么MaxSum[i]就等于A[0...i-1]的最大和加上A[i]在和A[i]比较求最大值， MaxSum[i] = Max{ MaxSum[i-1] + A[i], A[i]}

  //动态规划，状态方程 MaxSum[i] = Max{ MaxSum[i-1] + A[i], A[i]};MaxSum[i]表示已a[i]结尾的最大和public static int MaxSubSequence3(int[] array){int length=array.length;int[] MaxSum=new int[length];MaxSum[0]=array[0];for(int i=1;i<length;i++){MaxSum[i]=Math.max(MaxSum[i-1]+array[i], array[i]);}//找到MaxSum中的最大值int maxSum=Integer.MIN_VALUE;for(int i=0;i<MaxSum.length;i++){if(MaxSum[i]>maxSum){maxSum=MaxSum[i];}}return maxSum;}

算法三的改进O(n)

 /** 方法三的简化，当前面的累加和thisSum小于0是就置0，丢弃，大于maxSum时，把值赋给maxSum* */public static int MaxSubSequence4(int[] array){int length=array.length;int maxSum=0;int thisSum=0;for(int i=0;i<length;i++){thisSum+=array[i];if(thisSum>maxSum){maxSum=thisSum;}else if(thisSum<0){thisSum=0;}}  return maxSum;}

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