复随机变量

复随机信号

复随机信号x\bf{x}x的概率分布函数pdf为:
px(x)=px(xr+jxi)p_x({\bf{x}}) = p_x(x_r+jx_i) px(x)=px(xr+jxi)
对函数求其期望值有g:N→CNg:N{\rightarrow}{C^N}g:N→CN,其中复随机信号bfxbf{x}bfx的取值在定义域NNN中。
E(g(x))=E(Re[g(x)])+jE(Im[g(x)])E(g({\bf{x}})) = E(Re[g({\bf{x}})]) + jE(Im[g({\bf{x}})]) E(g(x))=E(Re[g(x)])+jE(Im[g(x)])
一般假设其均值为零。

复随机变量的二阶统计特性

考虑复随机变量x=xr+jxi{\bf{x}}=x_r+jx_ix=xr+jxi的二阶统计特性。简化表示使用两个实数表示xR=[xrT,xiT]Tx_R=[x_r^T,x_i^T]^TxR=[xrT,xiT]T。故其信号的协方差矩阵可以表示为：
CxRxR=E{xRxRT}=[CxrxrCxrxiCxrxiTCxixi]C_{x_{R}x_{R}}=E\left \{x_Rx_R^T \right \}=\begin{bmatrix} C_{x_{r}x_{r}} &C_{x_{r}x_{i}} \\ C_{x_{r}x_{i}}^T & C_{x_{i}x_{i}} \end{bmatrix} CxRxR=E{xRxRT}=[CxrxrCxrxiTCxrxiCxixi]
对于其增强协方差矩阵
Caug=E{xxH}=UNCxRxRUNH=[CxxC~xxC~xx∗Cxx∗]=CaugHC_{aug}=E\left\{ \bm{x} \bm{x}^H\right\}=\bf{U}_NC_{x_{R}x_{R}}\bf{U}_N^H=\begin{bmatrix} C_{xx}&\tilde{C}_{xx} \\ \tilde{C}_{xx}^* & {C}_{xx}^* \end{bmatrix}=C_{aug}^H Caug=E{xxH}=UNCxRxRUNH=[CxxC~xx∗C~xxCxx∗]=CaugH
其中Hermit矩阵有
Cxx=E{xxH}=Cxrxr+Cxixi+j(CxrxiT−Cxixi)=CxxHC_{xx}=E\left\{ \bm{x} \bm{x}^H\right\}=C_{x_rx_r}+C_{x_ix_i}+j(C_{x_rx_i}^T-C_{x_ix_i})=C_{xx}^H Cxx=E{xxH}=Cxrxr+Cxixi+j(CxrxiT−Cxixi)=CxxH
C~xx=E{xxT}=Cxrxr−Cxrxi+j(CxixiT−Cxixi)=C~xxT\tilde{C}_{xx}=E\left\{ \bm{x} \bm{x}^T\right\}=C_{x_rx_r}-C_{x_rx_i}+j(C_{x_ix_i}^T-C_{x_ix_i})=\tilde{C}_{xx}^T C~xx=E{xxT}=Cxrxr−Cxrxi+j(CxixiT−Cxixi)=C~xxT
称C~xx\tilde{C}_{xx}C~xx为伪协方差矩阵，当其为零时，其复信号称为不失真信号，反之为失真信号。
可以得到复信号xxx为不失真信号的充分必要条件为复信号的实部xrx_rxr和虚部xix_ixi的协方差矩阵和伪协方差矩阵均满足Cxrxr=CxixiC_{x_rx_r}=C_{x_ix_i}Cxrxr=Cxixi和Cxrxi=−CxrxiTC_{x_rx_i}=-C_{x_rx_i}^TCxrxi=−CxrxiT
则当其复信号为不失真信号时，其hermit协方差矩阵为
Cxx=2Cxrxr−2jCxrxi=2Cxixi+2jCxrxiTC_{xx}=2C_{x_rx_r}-2jC_{x_rx_i}=2C_{x_ix_i}+2jC_{x_rx_i}^T Cxx=2Cxrxr−2jCxrxi=2Cxixi+2jCxrxiT
同时其如果是一个标量信号时，其信号的方差是虚部方差和实部方差的两倍：
σx2=2σxr2=2σxi2\sigma_x^2=2\sigma_{x_r}^2=2\sigma_{x_i}^2 σx2=2σxr2=2σxi2
当一个复随机变量的概率分布的旋转不变的，则称其为圆的。
可以得到只有当复高斯随机信号xxx为非失真函数且均值为0时其才为圆信号。

圆系数和高斯熵

圆系数

描述圆信号的圆的程度，圆度系数。
近似的求解复信号的非圆度系数和圆度系数：
ρ=E{x2}E{∣x2∣}\rho = \frac{E\left\{x^2\right\}}{E\left\{\left | x^2\right |\right\}} ρ=E{∣x2∣}E{x2}
满足非圆系数0<ρ<10<\rho<10<ρ<1。
当其为圆信号时，E{x2}=0E\left\{x^2\right\}=0E{x2}=0。当非圆程度越高，其E{x2}E\left\{x^2\right\}E{x2}的值就越接近于E{∣x2∣}E\left\{\left | x^2\right |\right\}E{∣∣x2∣∣}的值，非圆系数越接近于1。

高斯熵

根据香农的信息论，信息熵是描述一个信息的信息量大小和信息的不确定性之间的关系。同样地假设一个离散随机变量xxx，其概率密度函数为f(x)f(x)f(x)，根据信息论其自信息量为I(x)=−log⁡f(x)I(x)=-\log{f(x)}I(x)=−logf(x)，其平均信息量为：
H(x)=−∫f(x)log⁡f(x)dxH(x) = -\int{f(x)\log{f(x)}dx} H(x)=−∫f(x)logf(x)dx
其中H(x)H(x)H(x)被称为随机变量的熵。
对于复随机信号，可以根据上述的定义得到一个含增强协方差矩阵的熵：
H(X)=12log⁡[(πe)2Ndet⁡Caug]H(X)=\frac{1}{2}\log{[(\pi e)^{2N}\det{C_{aug}}]} H(X)=21log[(πe)2NdetCaug]
其中，det⁡Caug=det⁡2Cxxdet⁡(1−KKH)=det⁡2Cxx∏n=1N(1−kn2)\det{C_{aug}}=\det^2{C_{xx}}\det{(1-KK^H)}=\det^2{C_{xx}}{\prod_{n=1}^{N}}(1-k_n^2)detCaug=det2Cxxdet(1−KKH)=det2Cxx∏n=1N(1−kn2)

对于一个非圆的复高斯随机信号的熵可以改写为如下公式：
Hnoncir=12log⁡[(πe)2Ndet⁡Caug]=log⁡[(πe)2Ndet⁡Cxx]+12log⁡∏n=1N(1−kn2)H_{noncir}=\frac{1}{2}\log{[(\pi e)^{2N}\det{C_{aug}}]}=\log{[(\pi e)^{2N}\det{C_{xx}}]}+\frac{1}{2}\log{{\prod_{n=1}^{N}}(1-k_n^2)} Hnoncir=21log[(πe)2NdetCaug]=log[(πe)2NdetCxx]+21logn=1∏N(1−kn2)
当复随机信号为圆时，其熵最大。
为了计算的方便和使用，给出另外一个高斯熵的定义方法

高斯熵的定义2：假设复随机信号为x=xR+jxI{\bf{x}}=x_R+jx_Ix=xR+jxI，可以得到其熵的定义为：
H(x)≜H(x,x∗)=−E{log⁡p(x,x∗)}H(x)\triangleq H(x,x^*)=-E\left\{\log{p(x,x^*)} \right\} H(x)≜H(x,x∗)=−E{logp(x,x∗)}
将其视为两个独立的随机变量，可以得到其概率密度函数
p(x)=p(x,x∗)=1πdet⁡Πexp(−[xx∗]HΠ−1[xx∗]/2)p(x)=p(x,x^*)=\frac{1}{\pi \sqrt{\det{\Pi} } }exp(-\begin{bmatrix}x\\x^*\end{bmatrix}^H\Pi^{-1}\begin{bmatrix}x\\x^*\end{bmatrix}/2) p(x)=p(x,x∗)=πdetΠ1exp(−[xx∗]HΠ−1[xx∗]/2)
Π=[E{∣x2∣}E{x2}E{(x2)∗}E{∣x2∣}]\Pi = \begin{bmatrix}E\left\{\left | x^2\right |\right\} &E\left\{x^2\right\}\\ E\left\{(x^2)^*\right\}&E\left\{\left | x^2\right |\right\} \end{bmatrix} Π=[E{∣∣x2∣∣}E{(x2)∗}E{x2}E{∣∣x2∣∣}]
其中Π\PiΠ是[x,x∗]T[x,x^*]^T[x,x∗]T的协方差。将上述两式结合可以得到高斯熵的定义：
H(x)≜H(x,x∗)=−E{log⁡p(x,x∗)}=1+log⁡(π)+12[E2{∣x2∣}−∣E{x2}∣2]H(x)\triangleq H(x,x^*)=-E\left\{\log{p(x,x^*)} \right\} \\ =1+\log{(\pi)}+\frac{1}{2}[E^2\left\{\left | x^2\right |\right\} -\left |E\left\{x^2\right\}\right |^2] H(x)≜H(x,x∗)=−E{logp(x,x∗)}=1+log(π)+21[E2{∣∣x2∣∣}−∣∣E{x2}∣∣2]